Уменьшить максимальный расход до согласования?

Существует известное и элегантное сокращение от проблемы максимального согласования по двум частям до проблемы максимального потока: мы создаем сеть с исходным узлом , терминальным узлом и одним узлом для каждого сопоставляемого элемента, затем добавляем соответствующие ребра. $s$ $t$

Конечно, есть способ уменьшить максимальный поток до максимального соответствия двудольных за полиномиальное время, поскольку каждый из них может быть решен по отдельности за полиномиальное время. Тем не менее, есть ли "хорошее" сокращение за полиномиальное время от максимального потока (в общих графах) до максимального двудольного соответствия?

reductions network-flow bipartite-matching

— templatetypedef
источник

Вы спрашиваете о сетевом потоке в двудольном графе или в общих графах?

— DW

Я думал о максимальном потоке в общих графиках.

— templatetypedef

Сокращения времени в P скучны: просто решите случай и выберите один из двух жестко закодированных экземпляров. Я знаю, что это не то, что вы хотите, но вы можете уточнить, что это такое?

— Рафаэль

@Raphael Последний абзац моего вопроса ссылался на то, что вы упомянули, так как да, явно неинтересное сокращение по тому, что вы сказали. Я ищу сокращение, которое больше соответствует сокращению от согласования до максимального расхода - структурное преобразование, которое сохраняет основные характеристики. Подумайте что-нибудь в соответствии с сокращениями, сделанными, чтобы доказать NP-твердость, а не тривиальным сокращением «решить проблему и вывести экземпляр».

— templatetypedef

Разве сокращения гаджетов не являются линейными по времени? Вот что я имею в виду: попробуйте найти более ограниченный класс, который не позволяет нам «обманывать». (Непонятно, что должно означать «сохраняет основные характеристики».)

— Рафаэль

Ответы:

Как ни странно, такое сокращение не известно. Однако в недавней работе Madry (FOCS 2013) было показано, как уменьшить максимальный поток в графах с единичной емкостью до (логарифмически многих случаев) максимального в двудольных графах. $b$

В случае, если вы не знакомы с проблемой максимального , это обобщение сопоставления, определяемое следующим образом: входными данными является граф (в нашем случае двудольный граф), и множество интегральных требований для каждой вершины, причем требование вершины обозначается через . Цель состоит в том, чтобы найти максимально возможное множество ребер , чтобы ни у одной вершины не было больше, чем ребер в падающих на $b$ $G=(V,E)$ $v$ $b_v$ $S$ $v$ $b_v$ $S$ $v$ , Это простое упражнение обобщить сокращение от двудольного согласования до максимума потоков и показать аналогичное сокращение от двудольного Сопоставления до максимума потоков. (Один из) удивительных результатов (результатов) статьи Мадри состоит в том, что в некотором смысле эти проблемы эквивалентны, давая простое сокращение, которое уменьшает максимальный поток в графах единичных мощностей (обычно графах, где сумма мощностей, является линейным по числу ребер, ) задаче в графе с узлами, вершинами и суммой требований. $b$ $|u|_1$ $m$ $b$ $O(m)$

Если вас интересуют подробности, см. Раздел 3, вплоть до теоремы 3.1 и раздела 4 (и подтверждение правильности в Приложении C) версии статьи Мадри на ArXiv, здесь . Если терминология не является самоочевидной, см. Раздел 2.5 для краткого обзора проблемы и имейте в виду, что - это емкость ребра в исходном экземпляре максимального потока. $b$ $u_e$ $e$

— dwajc
источник

-2

Вот попытка ответить на ваш вопрос:

$p\in P$ $q \in Q$ $p\in P$ $q\in Q$ $G_{∗}$ $\infty$ $e \in E$ $f_{x}$ $G_{∗}$ $f_{x}$ $pq \in M$ $G_{∗}$ $\cup (Q \cap R)$ $|Q \cap R|$

Я имею в виду, что это все, на мой взгляд, что вы задали в вопросе, и это мой потенциальный ответ :).

— marcincuber
источник

Обратите внимание, что вы можете использовать LaTeX здесь, чтобы набирать математику более читабельным способом. Смотрите здесь для краткого введения.

— DW

Можете ли вы уточнить, как это отвечает на вопрос? Вы строите алгоритм для решения проблемы максимального потока в общих графах, используя алгоритм для максимального двустороннего сопоставления? Если так, то каков алгоритм? Кажется, что все, что вы делаете, показывает, как решить проблему максимального потока для особого случая двудольных графов в особом случае, когда все емкости равны 1 . Но, конечно, эта проблема тривиально эквивалентна максимальному соответствию, как уже объясняется в вопросе, поэтому я не вижу, как это добавляет что-то новое. Я также не понимаю, насколько теорема Кенига или покрытия вершин актуальны.

— DW

Сокращение в этом случае является ключом к ответу на поставленный вопрос. И я верю в это именно то, что ищет @templatetypedef. Я не верю, что сокращение полиномиального времени от максимального потока (в общих графах) было бы другим. Я подумаю об этом еще раз и, возможно, добавлю что-то дополнительное, но я с трудом понимаю, зачем нам нужны разные экземпляры для более общего сокращения. Но справедливо.

— marcincuber

Это стандартное учебное пособие СОКРАЩЕНИЕ ОТ ДВУХСТОРОННЕГО СОГЛАСИЯ ДО ТОГО ПОТЕНЦИАЛА Вопрос заключается в уменьшении в обратном направлении: от максимального расхода до двустороннего соответствия.

— Джефф