Что такое индукция-индукция?

Что такое индукция-индукция ?

Ресурсы, которые я нашел:

• книга HoTT , в конце главы 5.7.
• статья nLab
• статья под названием индуктивно-индуктивные определения
• этот блог также упоминает индуктивно-индуктивные типы

Первые две ссылки слишком кратки для меня, а последние две слишком технические. Кто-нибудь может объяснить это в терминах непрофессионала? Было бы лучше, если бы был код Агды.

Дополнение 2016-10-03: Я перепутал индукцию-индукцию и индукцию-рекурсию (не первый раз, когда я это сделал!). Мои извинения за беспорядок. Я обновил ответ, чтобы покрыть оба.

Я нахожу объяснения в статье Форсберга и Сетцера. Конечная аксиоматизация индуктивно-индуктивных определений освещает.

Индукция-рекурсия

Индуктивно-рекурсивное определение - это определение, в котором мы определяем тип $A$ и семейство типов $B : A \to \mathsf{Type}$ одновременно особым образом:

1. $A$ определяется как индуктивный тип.
2. $B$ определяется рекурсии на$A$ .
3. Важно отметить , что определение $A$ может использовать $B$ .

Без третьего требования, мы могли бы сначала определить $A$ , а затем отдельно $B$ .

Вот детский пример. Определим $A$ индуктивно, чтобы иметь следующие конструкторы:

• $a : A$
• $\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

Семейство типов $B$ определяется как

• $B(a) = \mathtt{bool}$
• $B(\ell(x, f)) = \mathtt{nat}$

$A$

Индукция индукции

$A$$B : A \to \mathsf{Type}$

1. $A$
2. $B$$A$
3. $A$$B$

$B$

$A$

• $a : A$
• $\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

$B$

• $\mathsf{Tru} : B(a)$
• $\mathsf{Fal} : B(a)$
• $x : A$$y : B(x)$$\mathsf{Zer} : B(\ell(x,y))$
• $x : A$$y : B(x)$$z : B(\ell(x,y))$$\mathsf{Suc}(z) : B(\ell(x,y))$

$B$$B(a)$$B(\ell(x,y))$