Язык значений аффинной функции

Напишите для десятичного расширения (без начального ). Пусть и целые числа с . Рассмотрим язык десятичных разложений кратных плюс константа:$\bar n$$n$0$a$$b$$a > 0$$a$

Является регулярными? контекстно-свободной?$M$

(Контраст с языком графа аффинной функции )

_{Я думаю, что это хороший вопрос для домашней работы, поэтому ответы, которые начинаются с подсказки или двух, и объясняют не только, как решить вопрос, но и как решить, какие методы использовать, будут оценены.}

Очень просто: предположим, что числа записаны в десятичном виде (другие основания обрабатываются тривиальной модификацией). Построение ДКА, с состояния 0, 1, ..., . Начальное состояние равно 0, и из состояния на входе цифра переходит в состояние . Принимаемое состояние - (может потребоваться настройка, если ).$a$$a - 1$$q$$d$$(10 q + d) \bmod a$$b \bmod a$$b > a$

Это регулярно. Давайте сначала поработаем в двоичном формате, который будет обобщен на любую базу> 1. Пусть будет языком, о котором идет речь. Для a = 1, b = 0 получаем$M_{a,b}$

$M_{1,0} = \{1, 10, 11, 100, 101, ...\}$

это все строки над без начальных нулей, что является регулярным (создайте для него регулярное выражение).$\{0,1\}$

Теперь для любого , где b равно 0, мы получаем из , умножая численно на a, то есть выполняя преобразование для каждой строки . Это может быть сделано побитовым путем последовательности сдвигов и сложений которые зависят от битов фиксированной строки . Нам нужны две трансформации:$a$$M_{a,0}$$M_{1,0}$$\bar x \rightarrow \overline {ax}$$M_{a,0}$$x$$\bar a$

$\bar x \rightarrow \overline {2x}$ который является$\bar x \rightarrow \bar x0$

а также

$\bar x \rightarrow \overline {2x+x}$

Конкатенация 0 справа четко сохраняет регулярность. Таким образом, нам остается только доказать, что вторая операция сохраняет регулярность. Это можно сделать с помощью конечного преобразователя, работающего на справа налево. Это самый сложный шаг. Я предлагаю делать это с помощью программы с псевдокодом и некоторой конечной вспомогательной памяти (например, с некоторыми битовыми переменными) вместо использования состояний. Пока память имеет фиксированный размер для всех входов и вы сканируете строго справа налево, это конечное преобразование состояния и сохраняет регулярность.$\bar x$

Наконец, чтобы получить из нам нужно численно добавить к каждой строке, но это делается с помощью аналогичного преобразователя который зависит от фиксированного числа b.$M_{a,b}$$M_{a,0}$$b$$T_b$

Чтобы сделать то же самое в любой базе, покажите дополнительно, как выполнить умножение на одну цифру в этой базе, используя преобразователь который зависит от d. При этом мы можем умножать на многозначные числа и при этом оставаться на обычных языках. Или мы можем уточнить это, сказав, что умножение на - это просто повторное сложение.$d$$S_d$$d$

Вы хотели только намеки. Каждый из этих шагов зависит от довольно сложной теоремы / техники, поэтому доказательство того, что они получат полное доказательство, будет дополнительной работой.

Подсказка № 1 : сначала решите более популярную проблему «напишите автомат, который распознает десятичные / двоичные представления чисел, кратных 3», когда младший значащий бит появляется первым.

Промежуточный вопрос: докажите, что является регулярным.$\{ \overline{a\,x+b}\mid a\,x+b≥0 \quad x\in\mathbb{Z}\}$

Подсказка # 2 : график функции "по модулю " конечен. Вы можете вычислить его для каждого в который является как набором цифр, так и языком вашего автомата.a d { 0 , … , 9 $(n \mapsto 10n+d)$$a$$d$$\{0, \dots, 9\}$

Подсказка # 3 : Теперь, замените с . Что это меняет? Попробуйте использовать тот факт, что обычные языки устойчивы при пересечении, вместо того, чтобы создавать специальный автомат. x ∈ $x∈\mathbb Z$$x∈\mathbb N$

Подсказка # 4 : Предположим теперь , что простое число (так что является полем) и что мы все еще в том случае , когда . Теперь мы используем представление, где первый бит является наиболее значимым битом. Можете ли вы построить автомат таким же образом?Z / a Z x ∈ $a$$\mathbb Z/a\mathbb Z$$x∈\mathbb Z$

Подсказка № 5 : вам не всегда нужно создавать автомат, чтобы доказать, что язык является регулярным. Как вы можете использовать предыдущие результаты, чтобы доказать, что регулярно? (с наиболее значимым битом первым)$M$

Я слежу за идеей @vonbrand:

Подсказка 1:

Решите сначала для . Вы можете использовать теорему Майхилла-Нерода .$b=0$

Определим следующее соотношение . Это, очевидно, отношение эквивалентности. Кроме того, оно является правомерным, поскольку, если мы добавим цифру мы получим . Наконец, он насыщает , поскольку является классом эквивалентности . Поскольку имеет конечное число классов, по теореме Майхилла-Нерода мы имеем регулярность. Ассоциированный FSA является минимальным и имеет состояние.$\bar x\approx \bar y :\iff x\equiv y \mod a$$d$$\bar x \approx \bar y \iff 10x+d \equiv 10y+d \mod a \iff \bar x d \approx \bar y d$$L$$L$$[0]$$\approx$$a$

Подсказка 2:

Решите общий случай, повторно используйте автомат, индуцированный случаем .$b=0$

Мы знаем, что язык является регулярным для . Поэтому просто взять состояние FSA для языка. Теперь мы строим FSA для . Предположим, что имеет цифр. Тогда FSA разветвляется как 10-ти дерево глубины и содержит все пути к числам с цифрами. Все состояния, которые могут быть достигнуты с числом не в форме , отклоняются, в противном случае принимаются. Наконец, мы соединяем древовидную часть FSA с автоматом , в соответствии с остатком делением на .$b=0$$a$$M$$b=0$$L$$b$$k$$k$$k$$ax+b$$M$$a$

Язык регулярный.

Подсказка: изгонять девятки

Доказательство идеи

Для и ,$a=9$$b < 9$

построить автомат с состояниями, обозначенными от до . - начальное состояние, а одно конечное состояние - . Из состояния , на цифре , переход в состояние .$9$$0$$8$$0$$b$$s$$d$$(s + d) \;\mathrm{mod}\; 9$

Для обработки других значений , которые взаимно просты с ,$a$$10$

группируйте цифры в пакетах, чтобы найти некоторое такое, что делит (например, возьмите если потому что ).$k$$a$$10^k-1$$k=3$$a=37$$999 = 27 \times 37$

Для обработки значений которых только простые факторы и ,$a$$2$$5$

обратите внимание, что это все о конечном числе цифр в конце.

Чтобы обобщить на все значения и ,$a$$b$

используйте тот факт, что объединение и пересечение регулярных языков являются регулярными, что конечные языки являются регулярными, и что кратные являются , кратными обоим, когда и взаимно просты.$a_1 \cdot a_2$$a_1$$a_2$

Обратите внимание, что мы используем любую удобную технику; три основных элементарных метода (регулярные выражения, конечные автоматы, теоретико-множественные свойства) представлены в этом доказательстве.

Подробное доказательство

Пусть с взаимно простым с . Пусть и . По элементарной арифметике числа, равные по модулю , в точности совпадают с числами, равными по модулю и по модулю , поэтому . Поскольку пересечение регулярных языков является регулярным, и$a = 2^p 5^q a'$$a'$$10$$M' = \{\overline{a'\,x+b} \mid x\in\mathbb{Z} \wedge a'\,x+b \ge 0\}$$M'' = \{\overline{2^p 5^q\,x+b} \mid x\in\mathbb{Z} \wedge 2^p 5^q\,x+b \ge 0\}$$b$$a$$b$$a'$$b$$2^p5^q$$M \cap \{\overline{x} \mid x \ge b\} = M' \cap M'' \cap \{\overline{x} \mid x \ge b\}$$\{\overline{x} \mid x \ge b\}$является регулярным, потому что он является дополнением конечного (следовательно, регулярного) языка, если и также регулярны, то является регулярным; и, следовательно, регулярно, так как это объединение этого языка с конечным множеством. Поэтому для завершения доказательства достаточно доказать, что и регулярны.$M'$$M''$$M \cap \{\overline{x} \mid x \ge b\}$$M$$M'$$M''$

Начнем с , то есть числа по модулю . Целые числа, десятичное расширение которых находится в , характеризуются последними цифрами , поскольку изменение цифр далее слева означает добавление кратного который кратен . Следовательно, где - алфавит всех цифр, а - конечный набор слов длины и - это обычный язык.$M''$$2^p 5^q$$M''$$\mathrm{max}(p,q)$$10^{\mathrm{max}(p,q)}$$2^p 5^q$$0^* M'' = \aleph^* F$$\aleph$$F$$\mathrm{max}(p,q)$$M'' = (\aleph^* F) \cap ((\aleph \setminus \{0\}) \aleph^*)$

Теперь обратимся к , то есть числа по модулю где взаимно просты с . Если то - это множество десятичных разложений всех натуральных чисел, то есть , которое является обычный язык. Теперь предположим, . Пусть . По маленькой теореме Ферма, , то есть делит . Мы строим детерминированный конечный автомат, который распознает следующим образом:$M'$$a'$$a'$$10$$a' = 1$$M'$$M' = \{0\} \cup ((\aleph \setminus \{0\}) \aleph^*)$$a' > 1$$k = a'-1$$10^{a'-1} \equiv 1 \mod a'$$a'$$10^k-1$$0^* M'$

• Состояния: . Первая часть представляет позицию цифры, а вторая часть представляет число по модулю .$[0,k-1] \times [0,10^k-2]$$10^k-1$
• Исходное состояние .$(0,0)$
• Существует переход, помеченный из в тогда и только тогда, когда и .$d$$(i,u)$$(j,v)$$v \equiv d 10^i + u \mod 10^k-1$$j \equiv i + 1 \mod k$
• Состояние является конечным, если (обратите внимание, что делит ).$(i,u)$$u \equiv b \mod a'$$a'$$10^k-1$

Состояние достигнутое из слова удовлетворяет и . Это можно доказать индукцией по слову, следуя переходам на автомате; переходы рассчитываются для этого, используя тот факт, что . Таким образом, автомат распознает десятичные разложения (с учетом начальных нулей) чисел вида с помощью ; так как , автомат распознает десятичные разложения чисел, равных по модулю позволяя начальные нули, что$(i,u)$$\overline{x}$$i \equiv |\overline{x}| \mod k$$u \equiv x \mod 10^k-1$$10^k \equiv 1 \mod 10^k-1$$u + y 10^k$$u \equiv b \mod a'$$10^k \equiv 1 \mod a'$$b$$a'$$0^* M'$ . Таким образом, этот язык оказался регулярным. Наконец, является обычным языком.$M' = (0^* M') \cap ((\aleph \setminus \{0\}) \aleph^*)$

Чтобы обобщить до оснований, отличных от , замените и выше на все основные множители базы.$10$$2$$5$

Формальное доказательство

Оставлено как упражнение для читателя, в вашем любимом доказательстве теоремы.