Доказательство DOUBLE-SAT является NP-полным

Хорошо известная проблема SAT определена здесь для справки.

Проблема DOUBLE-SAT определяется как

$\qquad \mathsf{DOUBLE\text{-}SAT} = \{\langle\phi\rangle \mid \phi \text{ has at least two satisfying assignments}\}$

Как мы можем доказать, что это NP-полная?

Будет оценен более чем один способ доказать.

Вот одно из решений:

${\sf NP}$$\phi(x_1,\ldots,x_n)$$\phi$

${\sf NP}$

$\phi(x_1,\ldots,x_n)$

1. $y$
2. $\phi'(x_1,\ldots,x_n, y) = \phi(x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$

$\phi (x_1,\ldots,x_n)$$\phi$$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y)$$y \vee \bar y$$y = 1$$y = 0$$y$$\phi'$$x_1$$x_n$$y$$\in$

$\phi(x_1,\ldots,x_n)\notin \text{SAT}$$\phi' (x_1,\ldots,x_n, y) = \phi (x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$$\phi'(x_1,\ldots,x_n,y) \notin \text{Double-SAT}$

$\text{SAT} \leq_p \text{Double-SAT}$${\sf NP}$

$\mathsf{SAT}$$\mathsf{SAT}$$\mathsf{DOUBLE\text{-}SAT}$

$\varphi$$\varphi \lor f(\varphi)$$\varphi$$f$