Почему минимальная высота бинарного дерева

В моем классе Java мы изучаем сложность различных типов коллекций.

Вскоре мы будем обсуждать бинарные деревья, о которых я читал. Книга утверждает, что минимальная высота бинарного дерева составляет , но не дает дополнительных объяснений.$\log_2(n+1) - 1$

Может кто-нибудь объяснить, почему?

Бинарное дерево имеет 1 или 2 дочерних элемента в неконечных узлах и 0 узлов в конечных узлах. Пусть в дереве будет узлов, и мы должны расположить их таким образом, чтобы они все еще формировали правильное двоичное дерево.$n$

Не доказывая, я утверждаю, что для максимизации высоты данные узлы должны быть расположены линейно, то есть каждый неконечный узел должен иметь только одного дочернего элемента:

                              O 1
                              |
                              O 2
                              |
                              O 3
                              |
                              O 4
                              |
                              O 5
                              |
                              O 6
                              |
                              O 7
                              |
                              O 8

Здесь формула для вычисления отношения высоты с точки зрения количества узлов проста. Если - высота дерева, то h = n - 1 .$h$$h = n-1$

Теперь, если мы попытаемся построить бинарное дерево из узлов с минимальной высотой (всегда сводимой к полному бинарному дереву), мы должны упаковать как можно больше узлов на верхних уровнях, прежде чем перейти к следующему уровню. Итак, дерево принимает вид следующего дерева:$n$

                              O
                              |1
                              |
                       O------+-----O
                       |2           |3
                       |            |
                   O---+---O    O---+----O
                   |4      |5    6        7
                   |       |
               O---+--O    O
                8      9    10

Начнем с частного случая, .$n = 2^m - 1$

Мы знаем, что

$$2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{m-1} = 2^m - 1$$

Также легко доказать, что уровень, на котором могу иметь не более 2 i узлов.$i$$2^i$

Используя этот результат в приведенной выше сумме, мы находим, что для каждого уровня от 0 до m существует соответствующий член 2 i - 1 в разложении 2 m - 1 . Это означает, что полное двоичное дерево 2 m - 1 узлов полностью заполнено и имеет высоту, h ( 2 m - 1 ) = m - 1 , где h ( n ) = высота полного двоичного дерева с n узлами.$i$$0$$m$$2^{i-1}$$2^m - 1$$2^m - 1$$h(2^m-1) = m-1$$h(n) =$$n$

$h(2^m) = m$$2^m-1$$(2^m-1)+1 = 2^m$$m$$m-1$$m$

$$h(2^m) = m,$$ $$h(2^{m+1}) = m+1$$ $$h(2^{m+1} -1) = m$$

$\forall n \in \mathbb{Z}, 2^m \leq n < 2^{m+1}$

$$m \leq h(n) < m+1$$

$$m \leq \log_2(n) < m+1$$ $$m = \lfloor \log_2(n) \rfloor$$

$\forall n, n \in [2^m, 2^{m+1})$

$$h(n) = m = \lfloor \log_2(n) \rfloor$$

$\forall n \in \mathbb{Z}$

$\log_2(n+1)-1$$n$$\log_2(n)$$n$

$n$

$4$$1+1\cdot2+1\cdot2\cdot2+1\cdot2\cdot2\cdot2$$3$

$$\text{nodes}=1+2+2^{2}+2^{3}+...+2^{\text{depth}}=\sum_{k=0}^{\text{depth}} 2^{k}=\frac{1-2^{\text{depth}+1}}{1-2}.$$

$$\text{nodes}=2^{\text{depth}+1}-1,$$ $$\begin{eqnarray} \text{nodes}+1&=&2^{\text{depth}+1}\\ \log_{2}(\text{nodes}+1)&=&\log_{2}(2^{\text{depth}+1})=\text{depth}+1\\ \log_{2}(\text{nodes}+1)-1&=&\text{depth}. \end{eqnarray}$$

Чтобы сохранить минимальную высоту, легко увидеть, что нам нужно заполнить все уровни, кроме, возможно, последнего. Почему? в противном случае мы могли бы просто переместить узлы последнего уровня в пустые слоты на верхних уровнях.

Теперь представьте, что у меня есть неуказанное количество бинов, и я даю вам один бин за раз и прошу вас построить двоичное дерево с минимально возможной высотой. К тому времени, как вы полностью заполнили последний уровень, или, по крайней мере, один бин на последнем уровне, может закончиться. Допустим, у вас есть высота дерева h в этой точке.

$$2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}+\dots+2^{h}=2^{h+1}-1 \leq n\,.$$ $$h = \lg(n+1)-1\,.$$