Когда минимальное остовное дерево для графа не уникально

Для заданного взвешенного неориентированного графа G: Какие условия должны выполняться, чтобы для G было несколько минимальных остовных деревьев?

Я знаю, что MST уникален, когда все веса различны, но вы не можете полностью изменить это утверждение. Если на графике есть несколько ребер с одинаковым весом, может быть несколько MST, но также может быть только один:

В этом примере график слева имеет уникальный MST, а правый - нет.

Самое близкое, что я мог найти, чтобы найти условия неединственности MST, было это:

Рассмотрим все хордовые циклы (циклы, которые не содержат других циклов) в графе G. Если в любом из этих циклов максимальное взвешенное ребро существует несколько раз, то граф не имеет единственного минимального остовного дерева.

Моя идея заключалась в том, что для такого цикла

с n вершинами вы можете пропустить ровно одно из ребер и при этом все вершины быть связанными. Поэтому у вас есть несколько вариантов удаления ребра с наибольшим весом, чтобы получить MST, поэтому MST не уникален.

Тем не менее, я тогда придумал этот пример:

Вы можете видеть, что у этого графа действительно есть цикл, который соответствует моему условию: (E, F, G, H), но, насколько я вижу, минимальное остовное дерево уникально:

Таким образом, кажется, что мое состояние не является правильным (или, возможно, просто не совсем правильно). Я был бы очень признателен за любую помощь в поиске необходимых и достаточных условий неединственности минимального остовного дерева.

на первом рисунке: правый граф имеет уникальное MST, взяв ребра и ( F , G ) с общим весом 2.$(F,H)$$(F,G)$

Учитывая , граф и пусть М = ( V , Р ) быть как минимум связующего дерева (MST) в G .$G=(V,E)$$M=(V,F)$$G$

Если существует ребро с весом w ( e ) = m, такое, что добавление e к нашему MST дает цикл C , и пусть m также будет наименьшим весом ребра из F ∩ C , тогда мы можем создать второй MST, поменяв ребро из F ∩ C с весом ребра m на e . Таким образом, у нас нет уникальности.$e=\{v,w\}\in E \setminus F$$w(e)=m$$e$$C$$m$$F\cap C$$F\cap C$$m$$e$

Предыдущий ответ указывает алгоритм для определения наличия нескольких MST, который для каждого ребра не входящего в G , находит цикл, созданный путем добавления e к предварительно вычисленному MST, и проверяет , не является ли e единственным тяжелым ребром в этом цикле. Этот алгоритм, скорее всего, будет запущен за O ( | E | | V | ) время.$e$$G$$e$$e$$O(|E||V|)$

Более простой алгоритм, чтобы определить, есть ли множественные MST из G в сложность во времени$O(|E|\log(|V|))$ .

$\ $1. Запустите алгоритм Крускала на чтобы найти MST m .$G$$m$

$\ $2. Попробуйте снова запустить алгоритм Крускала на В этом цикле, когда у нас есть выбор между ребрами равных весов, мы сначала попробуем ребра не в m , после чего попробуем ребра в m . Всякий раз, когда мы находим ребро, не входящее в m, соединяет два разных дерева, мы утверждаем, что существует несколько MST, завершающих алгоритм.$G$$m$$m$$m$

$\ $3. Если мы достигли здесь, то мы утверждаем, что имеет уникальный MST.$G$

Обычный прогон алгоритма Крускала занимает времени. Дополнительный выбор ребер не в m может быть сделан за O ( | E | ) время. Таким образом, алгоритм достигает O ( | E | log ( | V | ) ) сложности времени.$O(|E|\log(|V|))$$m$$O(|E|)$$O(|E|\log(|V|))$

Почему этот алгоритм может определять наличие нескольких MST?

Предположим, у нас есть MST который не совпадает с m . Достаточно показать, что алгоритм, работающий на G , не достигнет шага 3, поскольку ребро, найденное в конце шага 2, а не в m и соединяющее два разных дерева, было бы включено в итоговый MST, если бы мы запустили Крускала алгоритм до завершения. Пусть вес самой большой вес, что для любого ребра весом меньше вес , то в т тогда и только тогда , когда он находится в м ' . Поскольку м и м ' имеют одинаковое число ребер веса ш , существуют края весов$m'$$m$$G$$m$$w$$w$$m$$m'$$m$$m'$$w$ которые находятся в m ', но не в m . Если алгоритм завершил работу до обработки ребер этих ребер, мы закончили. В противном случае, предположим, что алгоритм будет обрабатывать первое ребро e ′ среди этих ребер. Пусть S будет множеством всех ребер, которые до сих пор были сохранены для включения в результирующий MST. S ⊂ м . Поскольку алгоритм не завершил обработку ребра веса w не в m, такого как e ' , он, должно быть, не начал обработку ребер веса w в m . Так что ребра в$w$$m'$$m$$e'$$S$$S\subset m$$w$$m$$e'$$w$$m$$S$весят меньше чем . Это означает, что S ⊂ m ′ . Напомним, что e ′ находится в m ′ . Так как { e ′ } ∪ S ⊂ m ′ , где m ′ - дерево, e ′ должно соединить два разных дерева в S, и алгоритм завершается в этой точке.$w$$S\subset m'.$$e'$$m'$$\{e'\}\cup S\subset m'$$m'$$e'$$S$

Примечание о дальнейшей разработке
Шаг 1 и шаг 2 можно чередовать, чтобы мы могли завершить алгоритм как можно скорее без обработки ребер с большими весами.
Если вы хотите вычислить количество MST, вы можете проверить ответ о том, как вычислить количество MST .

$G$

• Ребро является самым тяжелым ребром в уникальном цикле, если оно является самым тяжелым ребром в некотором цикле.
• Ребро не является самым тяжелым, если оно не является самым тяжелым в любом цикле.
• Ребро является уникальным самым легким, если оно является самым легким, чтобы пересечь какой-либо разрез.
• Ребро не является самым легким, если оно не является самым легким, чтобы пересечь любой разрез.
• Два ST являются смежными, если каждый ST имеет ровно одно ребро, которого нет в другом ST.
• MST является изолированным MST, если он не смежен с другим MST (когда оба MST рассматриваются как ST).

Когда существует более одного минимального связующего дерева?

$G$

• Есть два смежных MST.
• Там нет изолированных MST.
• Существует ST, который является таким же легким или более легким, чем все смежные ST, и который является таким же легким, как один смежный ST.
• Существует преимущество, которое не является ни самым тяжелым с уникальным циклом, ни самым тяжелым без цикла.
• Существует край, который не является ни уникально-вырезанным-самым легким, ни не-разрезанным-самым легким

Новизна этого ответа состоит в основном из двух последних характеристик. Второй из последней характеристики можно рассматривать как самый следующий шаг в подходе ФП . Первые три характеристики вместе можно рассматривать как слегка улучшенную версию ответа dtt .

$G$

Когда минимальные остовные деревья уникальны?

$G$

• Уникальность MST : существует уникальный MST.
• Нет смежных MST : нет смежных MST.
• Один изолированный MST : есть изолированный MST.
• Один локальный минимум ST : есть ST, который легче, чем все соседние ST.
• Экстремальное ребро цикла : каждое ребро является самым тяжелым с уникальным циклом или тяжелым без цикла.
• Чрезвычайно острый край : каждый край является уникальным - самый легкий порез или не самый легкий

Вот мое доказательство.

"Уникальность MST" => "Нет смежного MST": очевидно.

«Нет смежных MST» => «Один изолированный MST»: очевидно.

«Один изолированный MST» => «Один локальный минимальный ST»: изолированный MST светлее всех соседних ST.

$m$

• $m$$l$$m$$l$$l$$c$$l$$m$$m$$m_1$$m_2$$m_1$$m_2$$l$$c$$m_1$$m_2$$l'$$m'$$m_1$$m_2$$l'$$G$$m$$m'$$m$$m'$$l$$l'$$l$
• $m$$h'$$m$$h'$$m$$c$$h$$c$$h'$$m'$$m$$h$$h'$$m$$m'$$m$$m'$$h$$h'$$h'$$c$$h'$

«Локальный минимум ST» => «Крайняя режущая кромка»: Доказательство оставлено в качестве упражнения.

$m$$e$$e$$m$$e$$m$$m$

"Extreme Cut Edge" => "Уникальность MST": Доказательство оставлено в качестве упражнения.

Вышеуказанные цепочки следствий доказывают теорему.

Еще раз, новизна этих ответов заключается в основном в свойстве «крайний край цикла» и в свойстве «крайний край отреза», в котором используются понятия «не самый тяжелый цикл» и «самый легкий разрез». Я не видел этих концепций в другом месте, хотя они вполне естественны.

Вот два связанных интересных наблюдения.

• $e$$e$$\Leftrightarrow$ $e$$\Leftrightarrow$ $e$
• $e$$e$$\Leftrightarrow$ $e$$\Leftrightarrow$ $e$

Два достаточных, но не обязательных условия для уникального MST

$ab\rightarrow 1, bc\rightarrow 1, cd\rightarrow 1, da\rightarrow 2, ac\rightarrow 2$

$1,1,2$