Может ли какая-то конечная проблема быть в NP-Complete?

Мой лектор сделал заявление

Любая конечная задача не может быть NP-полной

В то время он говорил о судоку, который сказал что-то вроде того, что для судоку 8х8 существует ограниченный набор решений, но я не могу точно вспомнить, что он сказал. Я записал записку, которую цитировал, но до сих пор не понимаю.

Судоку - это NP, если я не ошибаюсь. Проблема клика также является NP-полной, и если у меня была проблема 4-Клика, разве это не конечная проблема, которая является NP-полной?

np-complete np

— TheRapture87
источник

Что такое «конечная проблема»? Гугл и Википедия не помогают.

— Антон Трунов

@AntonTrunov Проблема, в которой вход имеет ограниченную длину.

— Юваль Фильмус

@YuvalFilmus, Разве это не верно для всех допустимых пар ввода машины Тьюринга *? Один из символов IIRC обозначен как пустой символ, и вход изначально имеет ограниченную область, за пределами которой символы, отличные от пустого символа, не могут появляться. Термин «NP complete» обычно не используется в контексте операций над потоками, которые не могут быть смоделированы без ослабления этого предположения.

— Майк Самуэль,

@MikeSamuel Когда я говорю «ограниченная длина», я имею в виду ввод размера не более 100. (Или любое число, отличное от 100).

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus, хорошо. Я говорю, что термин «NP complete» используется только тогда, когда на входе нет непустых символов или существует целое число, которое является количеством символов между крайним левым непустым символом и крайним правым непустым символом , 100 будет таким примером.

— Майк Самуэль,

Ответы:

Если конечная задача NP-полна, то P = NP, поскольку каждая конечная задача имеет алгоритм с полиномиальным временем (даже алгоритм с постоянным временем).

Когда мы говорим, что судоку является NP-полной, мы имеем в виду, что обобщенная версия судоку, сыгранная на доске является NP-полной. $n^2 \times n^2$

Наконец, проблема 4-клики, хотя и не является конечной (входной граф имеет неограниченный размер), является простой задачей, которая имеет алгоритм полиномиального времени.

— Юваль Фильмус
источник

Так является ли проблема 4-клики P, поскольку она имеет алгоритм полиномиального времени?

— TheRapture87

@ Aceboy1993 Правильно, это определение П.

— Юваль Фильмус

Но тогда почему K-клика считается NP-Complete? K не просто представляет число как 4?

— TheRapture87

k

$k$

k

$k$

Кроме того, мы можем доказать, что клика является NP-полной.

— Юваль Фильмус

Утверждение вашего учителя неверно или, возможно, вы не правильно его услышали. Правильное утверждение

$L$ $|L| \geq 1$ $P = NP$ .

$P \neq NP$ $|L|>1$ $\emptyset$ $P=NP$ $P \neq NP$

Судоку или шахматы не являются NP-полными (как указывал Юваль), потому что их вход - доска конечного размера 9x9 или 8x8 (я говорю о вариантах решения, есть ли у судоку решение или есть ли у шахмат выигрышная стратегия). В шахматах, если вы повторяете позицию, это считается ничьей.

— Shreesh
источник

Напомним: проблема X является NP-полной, если она удовлетворяет двум критериям:

а) Именно в NP - Т.е. любое угаданное решение X можно проверить за полиномиальное время.

б) для NP это завершено - т.е. каждая задача Y в NP имеет сокращение за полиномиальное время, которое переводит экземпляр Y в экземпляр X (так что любая программа за полиномиальное время, которая решает X, также решает Y за полиномиальное время ).

Мы можем согласиться, что судоку 9x9 удовлетворяет (а). Это (б), где вещи падают. В более общем плане - проблемы (в NP или иным образом) обычно имеют экземпляры размера N для произвольно больших значений N ; конечно, это верно для известных проблем в NP. Сокращение от такой проблемы до проблемы, которая имеет максимально возможный размер проблемы, не может быть допустимым сокращением от экземпляра к экземпляру, потому что у первого всегда (бесконечно) больше экземпляров, чем у второго. Вот почему судоку необходимо обобщить на матрицы NxN, прежде чем можно будет рассматривать NP-полноту.

— PMar
источник

Это не правильно. Вполне возможно иметь действительное сокращение от задачи с бесконечным числом экземпляров до задачи с конечным числом экземпляров. Например, здесь приведено сокращение от SAT до задачи определения, равна ли строка длины 1 «a»: если экземпляр SAT выполним, сопоставьте его со строкой «a»; в противном случае сопоставьте его со строкой «b». Теперь это сокращение (вероятно) не вычисляется за полиномиальное время, но это вполне допустимое сокращение.

— Дэвид Ричерби