Почему в основной теореме есть условие регулярности?

Я читал Введение в алгоритмы от Cormen et al. и я читаю формулировку основной теоремы, начиная со страницы 73 . В случае 3 также существует условие регулярности, которое необходимо выполнить, чтобы использовать теорему:

... 3. Если

$\qquad \displaystyle f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \varepsilon})$

для некоторой константы и если$\varepsilon > 0$

$\qquad \displaystyle af(n/b) \leq cf(n)$      [ это условие регулярности ]

для некоторой константы и для всех достаточно больших , тогда ..$c < 1$$n$

Может кто-нибудь сказать мне, зачем нужно условие регулярности? Как теорема не выполняется, если условие не выполняется?

Не строгое доказательство, а объяснение «от макушки головы».

Вообразите повторение как дерево. Третий случай охватывает сценарий, когда корневой узел асимптотически доминирует во время выполнения, то есть большая часть работы выполняется в ничтожном узле на вершине дерева повторений. Тогда время запуска является Θ ( F ( п ) ) .$aT(n/b)+f(n)$$\Theta(f(n))$

Чтобы убедиться, что рут действительно делает больше, вам нужно

.$a f(n/b) \leq cf(n)$

Это говорит о том, что (объем работы, выполненной в корне) должен быть по меньшей мере таким же большим, как сумма работы, выполненной на более низких уровнях. (Повторение называется раз на п / б входа.)$f(n)$$a$$n/b$

Например, для повторения работа на уровне ниже корня на одну четвертую больше и выполняется только дважды ( n / 4 + n / 4 ) по сравнению с n, поэтому корень доминирует ,$T(n)=2T(n/4)+n$$(n/4+n/4)$$n$

Но что, если функция не удовлетворяет условию регулярности? Например, вместо n ? Тогда работа, выполняемая на более низких уровнях, может быть больше, чем работа, выполняемая в корне, поэтому вы не уверены, что корень доминирует.$\cos(n)$$n$

Пусть и b = 2 , так что T ( 2 n ) = n ∑ k = 0 f ( 2 k ) . Чтобы применить случай 3, нам нужно f ( n ) = Ω ( n ϵ ) (для некоторых ϵ > 0 ) и условие регулярности f ( n / 2 ) ≤ ( 1 - δ ) $a = 1$$b = 2$

$$T(2^n) = \sum_{k=0}^n f(2^k).$$ $f(n) = \Omega(n^\epsilon)$$\epsilon > 0$ (для некоторого δ > 0 ). Вы получаете условие регулярности из доказательства, т.е. это сгенерированное доказательством понятие. Хотя условие регулярности не является обязательным (рассмотрим пример, приведенный в Википедии, f ( n ) = n ( 2 - cos n ) ), вы не можете полностью его отбросить, как показано в следующем примере. Рассмотрим f ( 2 n ) = 2 2 ⌊ log 2 n ⌋ > 2 2 log 2 n $f(n/2) \leq (1-\delta) f(n)$$\delta > 0$$f(n) = n(2-\cos n)$ Пустьn=2m+1-1. Тогда T(2n)= m ∑ k = 0 2 k + 1 - 1 ∑ t = 2 k 2 2 k = m ∑ k = 0 2 2 k +k=Θ(2 2 m $$f(2^n) = 2^{2^{\lfloor \log_2 n \rfloor}} > 2^{2^{\log_2n-1}} = 2^{n/2}.$$ $n = 2^{m+1}-1$ Поэтому неверно, что T ( 2 n ) = Θ ( f ( 2 n ) ) . $$T(2^n) = \sum_{k=0}^m \sum_{t=2^k}^{2^{k+1}-1} 2^{2^k} = \sum_{k=0}^m 2^{2^k+k} = \Theta(2^{2^m+m}), \quad f(2^n) = 2^{2^m}.$$ $T(2^n) = \Theta(f(2^n))$

Существует более общая теорема Акра-Бацци, в которой условие регулярности заменяется явной величиной, которая входит в результат.