Что означает ?

Что означает ?$\log^{O(1)}n$

Я знаю нотацию big-O, но эта нотация для меня не имеет смысла. Я тоже ничего не могу найти по этому поводу, потому что поисковая система не может правильно это интерпретировать.

Для некоторого контекста предложение, в котором я нашел это, гласит: «[...] мы вызываем функцию [эффективную], если она использует пространство и самое большее время за единицу."log O ( 1 )$O(\log n)$$\log^{O(1)}n$

Вам нужно на мгновение игнорировать сильное чувство, что « » находится в неправильном месте, и продолжать с определением. е ( п ) = лог вывода ( 1 ) п означает , что существуют константы К и п 0 такое , что для всех п ≥ п 0 , ф ( п ) ≤ журнала K ⋅ 1 п = войти K н .$O$$f(n) = \log^{O(1)}n$$k$$n_0$$n\geq n_0$$f(n) \leq \log^{k\cdot 1}n = \log^k n$

Обратите внимание, что означает ( log n ) k . Функции вида log O ( 1 ) n часто называют полилогарифмическими, и вы можете услышать, как люди говорят: « f - это полилог  n ».$\log^k n$$(\log n)^k$$\log^{O(1)}n$$f$$n$

Вы заметите, что легко доказать, что , так как 2 n ≤ k n для всех n ≥ 0 , где k = 2 . Вам может быть интересно, если 2 log n = log O ( 1 ) n . Ответ да , поскольку при достаточно большой п , войти п ≥ 2 , поэтому 2 журнала п ≤ войти 2 п при достаточно большой $2n=O(n)$$2n\leq k n$$n\geq 0$$k=2$$2\log n = \log^{O(1)}n$$n$$\log n\geq 2$$2\log n \leq \log^2n$ .$n$

В соответствующей заметке вы часто будете видеть многочлены, записанные как : та же идея.$n^{O(1)}$

Это злоупотребление нотацией, которое может быть понято общепринятым соглашением о заполнителях : всякий раз, когда вы найдете термин Ландау , замените его (на ваш взгляд или на бумаге) на произвольную функцию g ∈ O ( е ) .$O(f)$$g \in O(f)$

Так что если вы найдете

$\qquad f(n) = \log^{O(1)} n$

ты должен читать

для некоторого g ∈ O ( 1 ) $\qquad f(n) = \log^{g(n)} n$$g \in O(1). \hspace{5cm} (1)$

Обратите внимание на отличие от выражения « к степени некоторой константы»: g = n ↦ 1 / n - вполне вероятная возможность.$\log$$g = n \mapsto 1/n$

Предупреждение: автор может использовать еще больше злоупотреблений примечаниями и хочет, чтобы вы читали

для некоторого g ∈ O ( 1 ) $\qquad f(n) \in O(\log^{g(n)} n)$$g \in O(1). \hspace{4.3cm} (2)$

Обратите внимание на разницу между (1) и (2); в то время как это работает, чтобы определить тот же самый набор положительных функций здесь, это не всегда работает. Не перемещайте в выражениях без заботы!$O$

Это означает, что функция увеличивается не более чем до степени некоторой константы, то есть log 2 ( n ) или log 5 ( n ) или log 99999 ( n ) ...$\log$$\log^2(n)$$\log^5(n)$$\log^{99999}(n)$

«Максимум » означает, что существует постоянная c, такая, что измеряется O ( log c n ) .$\log^{O(1)} n$$c$$O(\log^c n)$

В более общем контексте эквивалентно утверждению, что существуют (возможно, отрицательные) константы a и b такие, что f ( n ) ∈ O ( log a n ) и f ( n ) ∈ Ω ( log b n ) .$f(n) \in \log^{O(1)} n$$a$$b$$f(n) \in O(\log^a n)$$f(n) \in \Omega(\log^b n)$

Легко пропустить нижнюю границу . В обстановке, где это будет иметь значение (что было бы весьма необычно, если вы заинтересованы исключительно в изучении асимптотического роста ), вы не должны иметь полной уверенности в том, что автор действительно имел в виду нижнюю границу, и вам придется полагаться на контекст, удостовериться.$\Omega(\log^b n)$

Буквальный смысл записи выполняет арифметику с семейством функций, в результате чего получается семейство всех функций log g ( n ) n , где g ( n ) ∈ O ( 1 ) . Это работает почти так же, как умножение O ( g ( n ) ) на h ( n ) приводит к O ( g ( n ) h $\log^{O(1)} n$$\log^{g(n)} n$$g(n) \in O(1)$$O(g(n))$$h(n)$ , за исключением того, что вы получите результат, который не выражается так просто.$O(g(n) h(n))$

Поскольку детали нижней границы находятся, вероятно, на незнакомой территории, стоит взглянуть на некоторые контрпримеры. Напомним, что любой ограничен по величине ; что существует постоянная c такая, что для всех достаточно больших n , | г ( н ) | < с .$g(n) \in O(1)$$c$$n$$|g(n)| < c$

При рассмотрении асимптотического роста обычно имеет значение только верхняя граница , поскольку, например, вы уже знаете, что функция положительная. Однако в полной общности следует обратить внимание на нижнюю границу g ( n ) > - c .$g(n) < c$$g(n) > -c$

Это означает, что, в отличие от более типичного использования обозначений big-oh, функции, которые слишком быстро уменьшаются, могут не попасть в ; например, $\log^{O(1)} n$ потому что -log

Контрпример несколько иного рода состоит в том, что .$-1 \notin \log^{O(1)} n$