Кнут, де Брюйн и Райс «Средняя высота посаженных плоских деревьев» (1972)

Я пытаюсь получить классическую статью из заголовка только элементарными способами (без генерирующих функций, без сложного анализа, без анализа Фурье), хотя и с гораздо меньшей точностью. Короче говоря, я «только» хочу доказать, что средняя высота дерева с узлами (то есть максимальное количество узлов от корня до листа) удовлетворяет . $h_n$ $n$ $h_n \sim \sqrt{\pi n}$

Схема выглядит следующим образом. Пусть будет количеством деревьев с высотой, меньшей или равной (с для всех ) и количеством деревьев в узлах. с высотой, большей или равной (то есть ). Тогда , где - конечная сумма Хорошо известно, что $A_{nh}$ $h$ $A_{nh} = A_{nn}$ $h \geqslant n$ $B_{nh}$ $n$ $h+1$ $B_{nh} = A_{nn} - A_{nh}$ $h_n = S_n/A_{nn}$ $S_n$

S_{n} = \sum_{h ⩾ 1} h (A_{n h} - A_{n, h - 1}) = \sum_{h ⩾ 1} h (B_{n, h - 1} - B_{n h}) = \sum_{h ⩾ 0} B_{n h} .

$S_n = \sum_{h \geqslant 1} h(A_{nh} - A_{n,h-1}) = \sum_{h \geqslant 1} h(B_{n,h-1} - B_{nh}) = \sum_{h \geqslant 0} B_{nh}.$

A_{n n} = \frac{1}{n} (\binom{2 n - 2}{n - 1})

$A_{nn} = \frac{1}{n}\binom{2n-2}{n-1}$ для множества общих деревьев с

n

$n$ узлами находится в биекции с множеством двоичных деревьев с

n - 1

$n-1$ узлами, посчитанными по каталонским числам.

Следовательно, первый шаг - найти $B_{nh}$ а затем главный член в асимптотическом разложении $S_n$ .

На данный момент авторы используют аналитическую комбинаторику (три страницы) для получения

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k ⩾ 1} [(\binom{2 n}{n + 1 - k h}) - 2 (\binom{2 n}{n - k h}) + (\binom{2 n}{n - 1 - k h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 1} \left[\binom{2n}{n+1-kh} - 2\binom{2n}{n-kh} + \binom{2n}{n-1-kh}\right].$

Моя собственная попытка заключается в следующем. Я рассматриваю биекцию между деревьями с $n$ узлами и монотонными путями на квадратной сетке $(n-1) \times (n-1)$ от $(0,0)$ до $(n-1,n-1)$ которые не пересекают диагональ (и делаются из двух видов шагов: $\uparrow$ и $\rightarrow$ ). Эти тропинки иногда называют тропами Дейка или экскурсиями . Теперь я могу выразить $B_{nh}$ в терминах путей решетки: это число путей Дейка длиной 2 (n-1) и высотой, большей или равной $h$ . (Примечание: дерево высотой $h$ находится в биекции с дорожкой Дика высотой $h-1$ .)

Без ограничения общности я предполагаю, что они начинаются с $\uparrow$ (следовательно, остаются выше диагонали). Для каждого пути я рассматриваю первый шаг, пересекающий линию $y = x + h - 1$ , если таковой имеется. Из пункта выше, вплоть до начала координат, я меняю $\uparrow$ на $\rightarrow$ и наоборот (это отражение по линии $y=x+h$ ). Становится очевидным, что пути, которые я хочу сосчитать ( $B_{nh}$ ), находятся в биекции с монотонными путями от $(-h,h)$ до $(n-1,n-1)$ которые избегают границ $y=x+2h+1$ и $y=x-1$ . (См. Рисунок .)

В классической книге Mohanty (1979, стр. 6) « Подсчет путей в решетке и приложения » формула подсчитывает количество монотонных путей в решетке от до , которые обходят границы и , где и . (Этот результат был впервые установлен российскими статистиками в 50-х годах.) Поэтому, рассматривая новое происхождение в , мы удовлетворяем условиям формулы: ,

\sum_{k \in Z} [(\binom{m + n}{m - k (t + s)}) - (\binom{m + n}{n + k (t + s) + t})],

$\sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{m+n}{m-k(t+s)} - \binom{m+n}{n+k(t+s)+t}\right],$

(0, 0)

$(0,0)$

(m, n)

$(m,n)$

y = x - t

$y = x - t$

y = x + s

$y = x + s$

t > 0

$t > 0$

s > 0

$s > 0$

(- h, h)

$(-h,h)$

s = 1

$s=1$

t = 2 h + 1

$t=2h+1$ и пункт назначения (верхний правый угол) теперь . Тогда Это можно упростить в что, в свою очередь, эквивалентно Разница с ожидаемой формулой состоит в том, что я суммирую по нечетным числам ( ) вместо всех натуральных чисел ( ).

(n + h - 1, n - h - 1)

$(n+h-1,n-h-1)$

B_{n h} = \sum_{k \in Z} [(\binom{2 n - 2}{n + h - 1 - k (2 h + 2)}) - (\binom{2 n - 2}{n - h - 1 + k (2 h + 2) + 2 h + 1})] .

$B_{nh} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n-2}{n+h-1-k(2h+2)} - \binom{2n-2}{n-h-1+k(2h+2) + 2h+1}\right].$

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k \in Z} [(\binom{2 n}{n + 1 - (2 k + 1) h}) - (\binom{2 n}{n - (2 k + 1) h})],

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - \binom{2n}{n-(2k+1)h}\right],$

B_{n + 1, h - 1} = \sum_{k ⩾ 0} [(\binom{2 n}{n + 1 - (2 k + 1) h}) - 2 (\binom{2 n}{n - (2 k + 1) h}) + (\binom{2 n}{n - 1 - (2 k + 1) h})] .

$B_{n+1,h-1} = \sum_{k \geqslant 0} \left[\binom{2n}{n+1-(2k+1)h} - 2\binom{2n}{n-(2k+1)h} + \binom{2n}{n-1-(2k+1)h}\right].$

2 k + 1

$2k+1$

k

$k$

Есть идеи, где проблема?

— Кристиан
источник

Вы говорите, что хотите использовать только элементарные вещи, но вы используете результат из книги. Как Mohanty получает идентичность, которую вы используете?

— Рафаэль

В первом предложении я определяю, что я подразумеваю под «элементарным»: нет генерирующих функций, нет комплексного анализа, нет анализа Фурье. В своей книге Моханти использует элементарные средства для получения этой формулы, точнее, принципов отражения и включения-исключения на путях решетки. (Я использую первое выше.) Если вы настаиваете, я добавлю его доказательство в конце вопроса.

— Кристиан,

Вовсе нет, просто хотел убедиться, что ты сам не нарушаешь свое правило.

— Рафаэль

Мне очень странно видеть «производящие функции» в списке неэлементарных методов, когда аналитическая комбинаторика, по-видимому, считается элементарной. выглядит почти не элементарным значением; есть ли у вас, например, сопоставимое доказательство асимптотики центрального биномиального коэффициента, чтобы лучше понять, что вы ищете? Я подозреваю, что эти двое тесно связаны ...

\sqrt{π}

$\sqrt{\pi}$

— Стивен Стадницки

Монотонные пути от до которые вы строите, избегают только границы прежде чем они пересекут в первый раз. Таким образом, формула, которую вы используете, не применима. $(−h,h)$ $(n−1,n−1)$ $y=x+2h+1$ $y=x+h$

— FrankW
источник