Минимальное остовное дерево с двойным весом

Рассмотрим граф $G(V,E)$ . Каждое ребро имеет два веса и . Найдите остовное дерево, которое минимизирует произведение . Алгоритм должен работать за полиномиальное время относительно,A e B e ( ∑ e ∈ T A e ) ( ∑ e ∈ T B e ) | V | , | E $e$$A_e$$B_e$$\left(\sum_{e \in T}{A_e}\right)\left(\sum_{e \in T}{B_e}\right)$$|V|, |E|$

Мне трудно адаптировать любой из традиционных алгоритмов на связующих деревьях (Kruskal, Prim, Edge-Deletion). Как это решить? Есть намеки?

Я собираюсь предположить, что вам не дают отрицательные взвешенные ребра, потому что это может не сработать, если есть отрицательные веса.

Алгоритм

Для каждого из ваших ребер пометьте их от до$1$$n$

Пусть вес A ребра номер$a_i$$i$

Пусть вес B ребра номер$b_i$$i$

Составьте эту таблицу

   |a_1 a_2 a_3 a_4 .. a_n
---+-------------------------
b_1|.........................
b_2|.........................
 . |.........................
 . |.........................
b_n|...................a_n * b_n

Каждый элемент таблицы является произведением строки и столбца.

Для каждого ребра суммируйте соответствующие строку и столбец таблицы (и не забудьте удалить элемент в пересечении, так как он был суммирован дважды).

Найдите ребро с наибольшей суммой, удалите это ребро, если оно не отключает график. Отметьте край как необходимый в противном случае. Если ребро было удалено, заполните его строки и столбцы 0.

правильность

Результат, очевидно, дерево.

Результат явно охватывающий, так как никакие вершины не разъединены.

Результат минимален? Если есть другой край, удаление которого приведет к созданию меньшего остовного дерева в конце алгоритма, то этот край был бы сначала удален и обнулен. (если бы кто-нибудь мог помочь мне сделать этот пример более строгим и / или встречным, тогда это было бы здорово)

время выполнения

Очевидно, многочлен от,$|V|$

редактировать

$(2,11), (11,2), (4,6)$ это не счетчик пример.

$a_1 = 2, a_2 = 11, a_3 = 4$

$b_1 = 11, b_2 = 2, b_3 = 6$

потом

   | 2     11     4
---+--------------------
11 | 22    121    44
 2 | 4     22     8
 6 | 12    66     24

$(11,2)$ удаляется.

В итоге$(2,11), (4,6) = 6 * 17 = 102$

Другие остовные деревья

$(11,2), (4,6) = 15 * 12 = 180$

$(2,11), (11,2) = 13 * 13 = 169$

Это решение от http://www.cnblogs.com/autsky-jadek/p/3959446.html .

Мы можем рассматривать каждое остовное дерево как точку на плоскости , где - сумма веса , y - сумма веса . Цель состоит в том, чтобы минимизировать .$x-y$$x$$\sum_{e\in T}A_{e}$$\sum_{e\in T}B_{e}$$xy$

1. Найти минимум остова в соответствии с весом и вес . Таким образом , мы имеем две точки в плоскости ху . Во всех точках связующего дерева на плоскости, имеет минимум , имеет минимум$A$$B$$A,B$$A$$x$$B$$y$ .

2. Теперь мы стремимся найти точку в треугольнике которая имеет максимальное расстояние до линии , чтобы можно было минимизировать значение для для всех точек в треугольнике .$C$$OAB$$AB$$xy$$C$$ABC$

Потому что .$2S_{ABC}=|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y})\times(C_{x}-A_{x},C_{y}-A_{y})=(B_{x}-A_{x})\cdot C_{y}+(A_{y}-B_{y})\cdot C_{x}-A_{y}(B_{x}-A_{x})+A_{x}(B{}_{y}-A_{y})$

3. Обратите внимание, что является константой, поэтому теперь мы стремимся максимизировать . Поэтому мы создаем новый граф , в то время как вес . Теперь мы запускаем максимальное связующее дерево на , чтобы получить точку .$A_{y}(B_{x}-A_{x})+A_{x}(B{}_{y}-A_{y}$$(B_{x}-A_{x})\cdot C_{y}+(A_{y}-B_{y})\cdot C_{x}$$G^{\prime}=(V,E)$$w(e)=B_{e}(B_{x}-A_{x})+C_{x}(A_{y}-B_{y})$$G^{\prime}$$C$

4. Прогоните выше алгоритма на рекурсивно, пока не более остовных деревьев между и .B C , A C $OBC, OAC$$BC,AC$$O$

5. Теперь мы получаем множество возможных связующих деревьев. Рассчитайте значение для каждого дерева, чтобы получить минимальное дерево.$xy$