Big O: вложенный в петлю с зависимостью

9

Мне дали домашнее задание с Big O. Я застрял с вложенными циклами for, которые зависят от предыдущего цикла. Вот измененная версия моего домашнего задания, так как я действительно хочу это понять:

sum = 0;
for (i = 0; i < n; i++ 
    for (j = 0; j < i; j++) 
        sum++;

Часть, которая отталкивает меня, это j < iчасть. Кажется, что это будет работать почти как факториал, но с дополнением. Любые намеки будут очень благодарны.

— Рафаэль
источник

Хорошее объяснение здесь

— saadtaame

10

Итак, позвольте мне прояснить несколько вещей, вас интересует нотация big-O - это означает верхнюю границу . Другими словами, можно считать больше шагов, чем вы на самом деле. В частности, вы можете изменить алгоритм на

 ...
    for (j = 0; j < n; j++) 
 ...

Таким образом , у вас есть два вложенных цикла, каждый цикл выполняется раз, что дает вам верхнюю границу из $n$ $O(n^2)$

Конечно, вы хотели бы получить хорошую оценку для верхней границы. Итак, для завершения мы хотим определить нижнюю границу. Это означает, что можно считать меньше шагов. Так что рассмотрим модификацию

for (i = n/2; i < n; i++)
    for (j = 0; j < n/2; j++) 
        sum++;

Здесь мы выполняем только некоторые из циклов-итераций. Снова у нас есть два вложенных цикла , но на этот раз мы имеем итерации на цикл, что показывает, что у нас есть по крайней мере дополнения. В этом случае мы обозначим эту асимптотическую нижнюю оценку через . Поскольку нижняя и верхняя границы совпадают, мы можем даже сказать, что является жесткой асимптотической границей, и мы пишем . $n/2$ $n^2/4$ $\Omega(n^2)$ $n^2$ $\Theta(n^2)$

Если вы хотите узнать больше, прочитайте здесь .

— A.Schulz
источник

6

sum = 0;
for (i = 0; i < n; i++)
    for (j = 0; j < i; j++) 
        sum++;

Давайте проследим это:

Когда я = 0, внутренний цикл не будет работать вообще ( 0<0 == false).
Когда i = 1, внутренний цикл будет запущен один раз (для j == 0).
Когда я = 2, внутренний цикл будет выполняться дважды. (для j == 0 и j == 1).

Таким образом, этот алгоритм будет увеличивать sumследующее количество раз:

\sum_{x = 1}^{n} x - 1 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4... + n - 1 = \frac{n (n - 1)}{2}

$\sum_{x=1}^n x-1 = 0+1+2+3+4... + n-1 = \dfrac{n(n-1)}{2}$

$n$ $\dfrac{n^2-n}{2}$ $n^2$ $\theta(n^2) \equiv O(n^2) \ and\ \Omega(n^2)$

— Keiths
источник

3

давайте посмотрим, смогу ли я объяснить это ...

Так что, если внутренний цикл был J

Теперь для первой итерации вы выполняете n- (n-1) раз по внутреннему циклу. во второй раз вы делаете n- (n-2) раз по внутреннему циклу. В N-й раз вы делаете n- (nn) раз, то есть n раз.

если вы усредните число раз, которое вы пройдете по внутреннему циклу, это будет n / 2 раза.

Таким образом, вы можете сказать, что это O (n * n / 2) = O (n ^ 2/2) = O (n ^ 2)

Имеет ли это смысл?

Это немного странно, но я думаю, что понял! Спасибо! Это может занять некоторое время, чтобы полностью погрузиться в ха-ха

Так что, если эта j < iчасть была на самом деле j < i^2, полученная O для этой части была бы n ^ 2/2?

Прежде всего отметим, что O (n ^ 2/2) = O (n ^ 2). Теперь, если вы измените его на j <i ^ 2, то вы делаете (n- (n-1)) ^ 2 на первой итерации и n ^ 2 на последней итерации. Я не помню, что обозначение big-O было бы для внутреннего цикла. O (n ^ 2) - свободная верхняя граница. Таким образом, свободная верхняя граница для всего этого будет O (n ^ 3), но этот внутренний цикл меньше O (n ^ 2). Имеет ли это смысл?