Теоретическая сложность трудно проверить значение

Функция подсчета простых чисел demoted определяется как число простых чисел, меньших или равных .$\pi(x)$$x$

Мы можем определить решение проблемы из следующим образом:$\pi(x)$

Учитывая два числа $x$ и $n$ , записанные в двоичном виде, решить, если $\pi(x) = n$ .

Мы с другом говорили об этой проблеме ранее сегодня. Для этой задачи есть алгоритм псевдополиномиального времени - просто посчитайте до $x$ , используя пробное деление на каждом шаге, чтобы увидеть, сколько чисел простое, и проверьте, равно ли оно $n$ . Проблема также в PSPACE, так как алгоритм, который я только что описал, может быть реализован для использования только полиномиального вспомогательного пространства.

Однако у меня возникают проблемы с поиском способа поместить эту проблему в класс более низкой сложности. Я не могу понять, как построить верификатор полиномиального времени для проблемы, поэтому я не уверен, есть ли он в NP, и я вообще не могу придумать, как включить его в иерархию полиномов.

Какой класс сложности наиболее подходит для этой проблемы?

Благодарность!

Это очень открытая проблема. Я нарисую некоторые классы, в которые проблема может «естественно» вписаться.

Ваше определение несколько неловко, с проблемой трудно вписаться в любой существующий класс сложности. Определенный вами язык является пересечением языков и { ( x , n ) | π ( x ) ≥ n } . Так, если, например, был в классе то был бы в$\{(x,n)|\pi(x)\leq n\}$$\{(x,n)|\pi(x)\geq n\}$$\{(x,n)|\pi(x)\leq n\}$$K$$\{(x,n)|\pi(x)\geq n\}$$coK$, Это затрудняет определение характеристики языка, который вы определили, потому что нужно указать «пересечение языка в с языком в », чтобы дать самую узкую границу.$K$$coK$

Проблема «Вычислить » - это проблема в , где - это класс задач вида «Вычислить число принимающих путей недетерминированной полиномиальной ТМ». Ясно, что мы можем построить недетерминированный TM, который угадывает число , и затем (с AKS) проверяет, является ли простым.$\pi(X)$$\#P$$\#P\subseteq FPSPACE$$q \leq x$$q$

Вариант решения - , это класс языков, имеющих вид: «При наличии недетерминированного полинома TM, по крайней мере, половина путей вычисления принимает?». И и , вероятно, сводятся к проблеме в (выполняя некоторые фальсификация вышеупомянутой ТМ, чтобы сбалансировать количество принимающих путей).$\#P$$PP$$\{(x,n)|\pi(x)\leq n\}$$\{(x,n)|\pi(x)\geq n\}$$PP$

Ваша проблема в C = P$_=$ С помощью алгоритма$\hspace{-0.06 in}\text{,}$

$\;\;\;$недетерминированное предположение целое число такое, что$\big[$m и немного$\: 0\leq m < 2^{\lceil \hspace{.02 in}\log_{\hspace{.02 in}2}\hspace{-0.02 in}(x+1)\rceil}\big]$b
$\;\;\;$если x < mзатем отклонить
$\;\;\;$если b=1тогда:
$\;\;\;\;\;$если m < nпотом прими еще, отвергни
$\;\;\;$ еще:
$\;\;\;\;\;$если m простое, то примите еще отклонить

,


В частности, ваша проблема также в PP, так как PP закрыт при сокращениях истинности таблицы .

На практике вы можете получить ответ быстрее или медленнее :-(

Существуют достаточно хорошие приближения для π (x). Таким образом, вы вычисляете такое приближение, и если оно слишком далеко, вы знаете, что π (x) ≠ n. Например, если n ≥ x, то я знаю, что π (x) ≠ n, ничего не вычисляя.

Существует быстрый алгоритм, который определяет, является ли π (x) четным или нечетным, работает в O (x ^ (1/2)). Вы можете запустить этот алгоритм, и он может обнаружить, что четность n неверна, и все готово. Он имеет пятьдесят шансов, если n - случайное целое число, близкое к π (x).

Кроме этого, я не знаю ни одного метода, который быстрее, чем вычисление π (x). Что очень неудобно - если я пишу программу, которая должна вычислять π (10 ^ 25), и я получаю результат, который явно не ошибочен, то нет способа проверить, что мой результат верен, кроме повторения расчет. И вы не можете просто повторить вычисления, используя мою программу, вам нужно написать другую программу, иначе вы не обнаружите, есть ли в моей программе ошибки, из-за которых она вычисляет слегка отличную функцию от π (x).

π (x) может быть вычислено достаточно легко примерно за O (n ^ (2/3)) и быстрее с некоторыми действительно глубокими математическими вычислениями.