Является ли 2-SAT с NP-отношениями NP-полными?

Я интересно, если есть полиномиальный алгоритм для «2-SAT с XOR-отношений». И 2-SAT, и XOR-SAT находятся в P, но является ли их комбинация?

Пример ввода:

• 2-SAT часть: (a or !b) and (b or c) and (b or d)

• XOR часть: (a xor b xor c xor 1) and (b xor c xor d)

Другими словами, вход представляет собой следующую логическую формулу:

Пример вывода: Удовлетворительно: a = 1, b = 1, c = 0, d = 0.

И количество предложений 2-SAT, и количество предложений XOR на входе составляют , где n - число логических переменных.$O(n)$$n$

Вы не определили арность своих отношений XOR, но, как и в обычном сокращении SAT-3SAT, вы всегда можете договориться, что их арность будет не более 3. Теперь вы в состоянии применить теорему дихотомии Шефера , которая скажите, есть ли у вас проблема в P или NP-complete (это только два варианта). Если окажется, что в P, следующим шагом может быть рассмотрение Allender et al. , который позволит вам узнать, насколько легко ваша проблема.

По теореме Дихотомии Шефера это NP-полная.

$\Gamma$$R(x,y,z)$$x \lor y$$x \lor \neg y$$\neg x \lor \neg y$$x \oplus y \oplus z$$x \oplus y \oplus \neg z$

Теперь примените теорему Шефера о дихотомии в ее современном виде . Проверьте каждую из шести операций, чтобы увидеть, являются ли они полиморфизмом:

• $x \lor y$
• $\neg x \lor \neg y$
• $x \lor y$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(0,0,0)$
• $\neg x \lor \neg y$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(1,1,0)$
• $x \oplus y \oplus z$$(0,0,1)$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(0,0,0)$
• $x \lor y$$(0,1,0)$$(1,0,0)$$(1,1,0)$$(0,0,0)$

Отсюда следует, что эта задача является NP-полной, даже если вы ограничите все предложения XOR длиной не более 3.

$(x \oplus y)$$(x \lor y) \land (\neg x \lor \neg y)$