Значение «положительной позиции» и «отрицательной позиции» в теории типов?

Что означает «в положительной позиции» и «в отрицательной позиции» в контексте теории типов?

Единственное, что я понял из поста Боба Харпера на эту тему, это то, что существует связь между полярностью в этом смысле в теории типов и полярностью в логике, но я не знаю, что это за связь.

К сожалению, «полярность» является несколько перегруженным понятием в теории типов. «Положительная позиция» и «отрицательная позиция» относятся к другому понятию полярности, чем то, о чем Боб говорит о фокусировке / поляризации.

Ваше значение

Когда вы определяете индуктивный тип, вы даете ряд правил, которые соответствуют операциям для определяемого вами типа. Например, вы можете сказать, что Natэто что-то с

• ценность zero : Nat
• функция suc : Nat -> Nat

А затем ожидать, что Natсодержит все значения, которые могут быть сгенерированы от повторного применения sucк другим Nats и включает zero. В соответствии с этой индуктивной конструкцией мы получаем принцип рекурсии по Nats, который работает на основе того факта, что что-либо Natгенерируется этими конструкторами.

rec : A -> (A -> A) -> Nat -> A

так что

rec Z S zero = zero
rec Z S (suc n) = S (rec Z S n)

Однако существуют некоторые ограничения на то, что мы можем написать как правила. В противном случае мы можем записать ряд правил, для которых принцип рекурсии не может быть оправдан. Рассмотрим «индуктивный тип» Dс одним конструктором

• d : (D -> D) -> D

Здесь нет нормального принципа рекурсии. и не зря! Если бы у нас был какой-то принцип рекурсии, мы могли бы использовать его для кодирования версии собственного приложения, а вместе с ним - нетерминации. Это средство Dнельзя назвать «индуктивным», потому что индуктивные типы - это конечные конструкции, генерируемые из многократного применения конструкторов!

Чтобы справиться с этим, мы ограничимся тем, как индуктивные типы могут быть рекурсивными в теории типов. В частности, мы не дадим им появляться в «негативных местах». Это то понятие полярности, о котором вы говорили. Полярность положения определяется таким образом,

1. Аргумент начинается в положительной позиции
2. Каждый раз, когда мы идем влево стрелка, полярность меняется

Так Xчто положительный в первых двух и отрицательный во вторых двух

X
Int -> X
X -> Int
(Unit -> X) -> Int

Эта идея обосновывается обращением к теории категорий, где индуктивный тип, чьи единственные повторения являются положительными, порождает ковариантный функтор. Детали того, как это работает и почему это интересно, немного длинны.

Значение Боба Харпера

В своем блоге Харпер говорил о другом значении полярности. Эта полярность является ссылкой на то, как различные соединительные элементы в логике имеют значение. В частности, мы можем классифицировать соединительные элементы двумя способами

• Положительные связки могут быть определены путем определения того, как их вводить (правила их введения)
• Отрицательные связки могут быть определены путем определения их использования (правила их исключения)

В терминах языка программирования это хорошо отражает различие между ленивыми и строгими типами. Строгий тип определяется его значениями. Ленивый определяется тем, как образец может соответствовать им. Для правильной обработки мы определили язык с двумя основными конструкциями, способами построения положительных типов и «позвоночниками» для разложения отрицательных типов. Мы можем использовать это для включения как строгих, так и ленивых вычислений в один язык.

Для того , чтобы понять это лучше, я отсылаю вас к главе 38 Боба Харпера книги .