Каков наиболее эффективный алгоритм и структура данных для поддержки информации о связанных компонентах на динамическом графе?

Скажем, у меня есть неориентированный конечный разреженный граф, и мне нужно эффективно выполнять следующие запросы:

• $IsConnected(N_1, N_2)$ - возвращает если есть путь между и N_2 , в противном случае FН 1 Н 2$T$$N_1$$N_2$$F$
• $ConnectedNodes(N)$ - возвращает набор узлов, которые доступны из $N$

Это легко сделать, предварительно вычислив подключенные компоненты графа. Оба запроса могут быть выполнены за $O(1)$ раз.

Если мне также нужно иметь возможность добавлять ребра произвольно - $AddEdge(N_1, N_2)$ - тогда я могу хранить компоненты в структуре данных с несвязным множеством . Всякий раз, когда добавляется ребро, если оно соединяет два узла в разных компонентах, я бы объединял эти компоненты. Это добавляет стоимость $O(1)$ стоимости $AddEdge$ и $O(InverseAckermann(|Nodes|))$ к $IsConnected$ и $ConnectedNodes$ (которые также могут быть $O(1)$ ).

Если мне также нужно иметь возможность произвольно удалять ребра, какова лучшая структура данных, чтобы справиться с этой ситуацией? Один известен? Подводя итог, он должен эффективно поддерживать следующие операции:

• $IsConnected(N_1, N_2)$ - возвращает $T$ , если существует путь между $N_1$ и $N_2$ , в противном случае $F$ .
• $ConnectedNodes(N)$ - возвращает набор узлов , которые доступны из $N$ .
• $AddEdge(N_1, N_2)$ - добавляет ребро между двумя узлами. Обратите внимание, что $N_1$ , $N_2$ или оба, возможно, не существовали раньше.
• $RemoveEdge(N_1, N_2)$ - удаляет существующее ребро между двумя узлами.

(Я заинтересован в этом с точки зрения разработки игры - эта проблема, по-видимому, возникает в довольно многих ситуациях. Возможно, игрок может построить линии электропередачи, и нам нужно знать, подключен ли генератор к зданию. Возможно, игрок может заблокировать и откройте двери, и нам нужно знать, сможет ли враг добраться до игрока. Но это очень общая проблема, поэтому я сформулировал это так)

Эта проблема известна как динамическая связь, и она является активной областью исследований в сообществе теоретических компьютерных наук. Все еще некоторые важные проблемы все еще открыты здесь.

Чтобы прояснить терминологию, вы запрашиваете полностью динамическое соединение, так как хотите добавлять и удалять ребра. Есть результат Хольма, де Лихтенберга и Торупа (J.ACM 2001), который достигает времени обновления и времени запроса . Из моего понимания это кажется осуществимым. Проще говоря, структура данных поддерживает иерархию связующих деревьев, а динамическое связывание в деревьях легче охватить. Я могу порекомендовать заметки Эрика Д. Демейна для хорошего объяснения, смотрите здесь видео. Записка Эрика также содержит указатели на другие соответствующие результаты. Как примечание: все эти результаты являются теоретическими.$O(\log^2 n)$$O(\log n / \log\log n)$

Эти структуры данных могут не предоставлять запросы ConnectedNodes как таковые, но этого легко достичь. Просто поддержите в качестве дополнительной структуры данных график (скажем, как двунаправленный список ребер) и выполните поиск в глубину, чтобы получить узлы, к которым можно обратиться из определенного узла.