Типы сокращений и соответствующие определения твердости

Пусть А сводится к B, т.е. . Таким образом, машина Тьюринга приема имеет доступ к оракулу для . Пусть машина Тьюринга, принимающая будет а оракул для будет . Типы скидок:$A \leq B$$A$$B$$A$$M_{A}$$B$$O_{B}$

• Сокращение Тьюринга: может сделать несколько запросов к .$M_{A}$$O_{B}$

• Уменьшение Карпа: также называется «сокращением по Тьюрингу за полиномиальное время»: входные данные для должны быть построены за время полимеризации. Более того, количество запросов к должно быть ограничено полиномом. В этом случае: .$O_{B}$$O_{B}$$P^{A} = P^{B}$

• Много-одно сокращение Тьюринга: может сделать только один запрос к во время его последнего шага. Следовательно, ответ оракула не может быть изменен. Однако время, необходимое для построения входа в не обязательно должно быть ограничено полиномом. Эквивалентно: ( обозначает сокращение много-один)$M_{A}$$O_{B}$$O_{B}$$\leq_{m}$

  $A \leq_{m} B$ , если вычислимая функция такая , что .$\exists$$f: \Sigma^{\ast} \to \Sigma^{\ast}$$f(x) \in B \iff x\in A$

• Сокращение Кука: также называется «сокращением много-одного полиномиального времени»: сокращение много-одного, где время, необходимое для создания входа в должно быть ограничено полиномом. Эквивалентно: ( обозначает сокращение много-один) ≤ p $O_{B}$$\leq^{p}_{m}$

  , если ∃ вполи-временивычислимая функция F : Е * → Е * такойчто F ( х ) ∈ $A \leq^p_{m} B$$\exists$$f: \Sigma^{\ast} \to \Sigma^{\ast}$ .$f(x) \in B \iff x\in A$

• Парсимонное сокращение: Также называется « за полиномиальное время один-один сокращение»: сокращение Повара , где каждый экземпляр сопоставляется с уникальным экземпляром B . Эквивалентно: ( ≤ p 1 обозначает экономное сокращение)$A$$B$$\leq^{p}_{1}$

  , если ∃ вполи-времявычислимы биекции е : Е * → Е * такойчто F ( х ) ∈ $A \leq^p_{1} B$$\exists$$f: \Sigma^{\ast} \to \Sigma^{\ast}$ .$f(x) \in B \iff x\in A$

  Эти сокращения сохраняют количество решений. Следовательно .$\#M_{A} = \#O_{B}$

Мы можем определить больше типов сокращений, ограничив количество запросов оракула, но не обращая на них внимания, может кто-нибудь любезно сказать мне, правильно ли я получил номенклатуру для различных используемых типов сокращений. Определены ли NP-полные проблемы относительно сокращения Кука или экономного сокращения? Может ли кто-нибудь любезно привести пример проблемы, которая является NP-полной под Cook, а не под экономным сокращением.

Если я не ошибаюсь, класс # P-Complete определяется относительно сокращений Карпа.

Ваше определение экономных сокращений неверно. Вы путаете это с одночленным сокращением за полиномиальное время, что является частным случаем сокращений Карпа. Они не сохраняют количество «решений». Пожалуйста, смотрите этот ответ для получения дополнительной информации о сокращениях с учетом количества сертификатов.

В остальном все в порядке, хотя обычно их лучше просматривать на двухмерной диаграмме:

• сложность редукции: вычислимое, полиномиальное время, логарифмическое пространство и т. д.
• тип доступа: тьюринг, много-один, один-один и т. д.

Определены ли NP-полные проблемы относительно сокращения Кука или экономного сокращения?

Твердость и полнота N P определяются по сокращению Карпа (polytime много-один), а не по Кука или экономному сокращению.$\mathsf{NP}$

Может ли кто-нибудь любезно привести пример проблемы, которая является NP-полной под Cook, а не под экономным сокращением.

Возьмите дополнение SAT, оно завершено для при сокращениях Кука, оно не считается полным для N P при сокращениях Карпа. Сокращения в Карпе включают в себя уменьшение времени один-на-один.$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

класс # P-Complete определен относительно сокращений Карпа

Обратите внимание, что $\mathsf{\#P}$ - это не класс задач решения, это класс задач вычисления функций. Его твердость и полнота обычно определяются при сокращениях Кука (полимеризация по Тьюрингу). См., Например, Арора и Барак, стр. 346.

$O_B$