Пицца коммерческая заявка на 34 миллиона комбинаций

Пицца рекламирует, что вы можете объединить их ингредиенты до 34 миллионов различных комбинаций. Я не верил в это, поэтому отряхнул свои ржавые навыки комбинаторики и попытался понять это. Вот что у меня есть: с сайта онлайн-заказа я получил выбор

корочка (4 вида, выберите 1)
размер (4 типа, выберите 1) некоторые корки ограничены определенным размером - не считая этого, но хотелось бы.
сыр (5 видов, выберите 1)
соус (4 вида, выберите 1)
уровень соуса (3 вида, выберите 1)
мясо (9 видов, на выбор до 9)
без мяса (15 видов, на выбор до 15)

Таким образом, я решил, что это была проблема с комбинацией (порядок не важен), а не проблема выбора n, пустое значение допускается для всего, кроме корки и корочки, размер, сыр, соус и уровень соуса будут выбираться только один. Мясные и не мясные? Так что это будет: $2^?$

кора $\binom{4}{1}=4$
размер $\binom{4}{1}=4$
сыр $\binom{5}{1}=5$
соус $\binom{4}{1}=4$
уровень соуса $\binom{3}{1}=3$
мясо $2^9 = 512$
не мясные $2^{15} = 32768$

На данный момент я застрял, как я могу объединить их, чтобы получить общее количество возможных комбинаций?

Я нашел этот сайт полезным.

ETA: Если я не принимаю во внимание ограничения по размеру коры - некоторые корки доступны только в определенных размерах - их более 16 миллиардов; 16,106,127,360 доступных комбинаций, так что их было совсем немного.

combinatorics discrete-mathematics

— gebuh
источник

Только один сыр? Это причина для заказа в другом месте.

— Рафаэль

Может быть, они лучше делают пиццу, чем математику.

— Дейв Кларк

Они действительно достигли своей цели - привлечь вас своей рекламой. Кого волнует, если количество комбинаций неверно?

— gnasher729

Возможно, никто, но это была интересная головоломка, в которой использовались некоторые математические навыки, которыми я не пользовался довольно давно.

— Gebuh

Хорошо, немного более подробный ответ, чем в комментариях.

Выбор из выполняется с помощью . Таким образом, для таких вещей, как размер пиццы, где у вас есть 4 варианта (и вам нужно выбрать один, потому что пицца coz не может быть одновременно средней и очень большой), у вас есть только варианта. Действительно, . $k$ $n$ ${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ $4$ ${4 \choose 1}=\frac{4!}{3!}=4$

Интересной частью являются такие вещи, как не мясные блюда. У вас есть 15 и вы можете выбрать любой набор до 15. Математически это означает, что . ${15 \choose 0} + {15 \choose 1} + \cdots + {15\choose 15}$

Как вы упомянули, есть хорошая формула для таких сумм: таким образом, для опций, не связанных с мясом, у вас есть опций , как ты сказал. (см. здесь для больше формул).

Σ_{я знак равно 0}^{N} (\binom{N}{я}) знак равно 2^{я}

$\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^i$

2^{15} = 32768

$2^{15}=32768$

Наконец, чтобы объединить все варианты, вы просто умножаете их. Если у вас есть 4 возможных размера и, скажем, 4 возможных корки, то у вас в общей сложности различных комбинаций. $4\times 4=16$

Итак, умножив все, вы получите 16.106.127.360, что больше 34 миллионов.

— Ран Г.
источник