Сложность вычислений

Какова сложность вычисления ?$n^{n^2},\;n \in \mathbb{N}$

Используя быстрое преобразование Фурье, умножения на битные числа можно выполнить за время (где тильда означает, что мы игнорируем полилогарифмические факторы). Повторяя возведение в квадрат, мы можем вычислить с умножением , и каждое умножение включает в себя не большее число, чем , которое имеет примерно битов. Таким образом, общее количество требуемого времени равно .˜ O ( k $k$$\tilde{O}(k)$ O ( журнал п ) п п 2 п 2 лог 2 п ~ О ( п 2 ( лог - п ) 2 ) = ~ O ( п 2$n^{n^2}$$O(\log n)$$n^{n^2}$$n^2 \log_2 n$$\tilde{O}(n^2(\log n)^2)=\tilde{O}(n^2)$

Отредактировано в ответ на комментарии . Время для вычисления может быть разложено на время, необходимое для вычисления и то, которое требуется для выполнения . Я буду считать , что умножая разрядное число с помощью - битовое число занимает ровно раз по методу школы книги; дополнения и т. д. имеют постоянное время. В результате вычисление занимает времени. f 1 ( n ) = n 2 n f 1 ( n ) m n m n n 2 log 2 2 ( n $f(n) = n^{n^2}$$f_1(n) = n^2$$n ^ {f_1(n)}$$m$$n$$mn$$n^2$$\log_2^2 (n)$

Предположим, что мы используем двоичное возведение в степень для вычисления . Двоичное возведение в степень выполняет два вида операций при вычислении : возводит в квадрат текущий продукт и умножает текущий продукт на зависимости от того, равен ли текущий бит в двоичном расширении 0 или 1. В худшем случае , является степенью двойки, так что двоичное возведение в степень многократно возводит в квадрат свой текущий продукт, пока не достигнет ответа. Обратите внимание, что имеет битов, так что число таких расквартирований . Это тот случай, который мы проанализируем ниже.f ( n ) n n 2 n 2 n 2 m ′ = ⌈ 2 log 2 ( n ) ⌉ m = m ′ - $f(n)$$f(n)$$n$$n^2$$n^2$$n^2$$m'=\lceil 2 \log_2(n) \rceil$$m= m'-1$

Первый квадрат занимает время , в результате получается произведение -бит. Второе возведение в квадрат занимает два битных числа и выполняется за время , в результате чего получается произведение. Продолжая, шаг занимает времени и выводит -битное произведение. Этот процесс останавливается на шаге; в результате требуется времяo 1 = 2 log 2 ( n ) o 1 t 2 = o 2 1 o 2 = 2 o 1 i t i = 4 i - 1 log 2 2 n o i = 2 i log 2 ( н ) $t_1=\log_2^2(n)$$o_1=2 \log_2(n)$$o_1$$t_2=o_1^2$$o_2=2o_1$$i$$t_i = 4^{i-1}\log^2_2 n$$o_i=2^{i} \log_2 (n)$$m$

$T _{exp} =\sum _{[1..m]} t_i = \log_2 ^2 (n) \sum_{[1..m]} 4^i = \frac{4^m -1} {3} \log_2 ^2 n$ .

Когда включена первоначальная стоимость возведения в квадрат, мы находим самое большее время

${T_{exp} + \log_2^2{n}}$

Запись

• В вычислениях я опустил некоторые этажи и потолки, надеясь, что они не окажут существенного влияния на ответ.
• Я намеренно пропустил анализ на основе в пользу точной верхней границы, чтобы быть точным. $O$
• Приведенные выше рассуждения также дают понять, почему мой предыдущий анализ был ошибочным. обозначение было использовано в быстром и рыхлом-пути, и это удобно опущены константы , так что, например, магическим образом стал . $O$$\sum t_i$$O(\log n)$
• Умножения всегда можно ускорить с помощью БПФ и другими методами.