Эта классическая игра-головоломка NP-полная?

Существует классическая игра-головоломка, очень похожая на кроссворд, за исключением того, что дается список слов, а затем дается квадратная доска составленная из единичных квадратов, с некоторыми квадратами, затемненными как кроссворд , и на некоторых квадратах уже написано письмо. Цель состоит в том, чтобы записать каждое слово из списка один раз и только один раз в головоломке, где каждое слово пишется либо горизонтально (слева направо), либо вертикально (сверху вниз) в не затемненные последовательные квадраты, и когда вы пишете слово два квадрата, окружающие концы слова, должны быть либо затемнены, либо удалены от доски. Также для букв, предварительно записанных в некоторые квадраты, написанные слова, которые перекрывают эти квадраты, должны соответствовать предварительно написанной букве.$N \times N$

Теперь, если мы примем алфавит фиксированного размера для слов, мы решаем, сможем ли мы заполнить игровое поле правильным решением, используя точно каждое слово в списке один раз и только один раз, если задача NP-полная, если длина стороны доски равна не зафиксировано?

Извините за ответ на старый пост.

Я думал об этом, и я думаю, что проблема с фиксированным алфавитом также является NP-полной.

Я собираюсь уменьшить положительный SAT 1 к 3 к этой проблеме слова

Вчера у меня возникли проблемы с идеями решения проблемы. У меня были проблемы с изменением каждой переменной, пока я снова не посмотрел на вопрос и не понял, что вы позволили иметь квадраты с засаженными символами. Это сильно упростило сокращение. Моя другая идея заключалась в том, чтобы иметь слова разной длины для каждой переменной.

СНИЖЕНИЕ

Теперь я собираюсь описать гаджеты, которые мы будем использовать:

Переменный гаджет

Мы помечаем каждую переменную различным числовым индексом, и у нас будет разное число для каждой переменной. Мы выбираем самый большой индекс и представляем число в двоичном виде, мы будем называть эту двоичную цепочку .$n$

Затем мы создаем два разных вертикальных слова для каждой переменной. Все слова будут иметь длину (Только если мы разрешаем дублирование слов в списке слов), где | п | длина двоичной цепи n .$3 + |n|$$|n|$$n$

Например, пусть самый большой индекс будет номером . Когда мы преобразовываем это число в двоичном виде, мы получаем цепочку 100 в двоичном виде, эта цепь имеет длину три. Таким образом, каждое переменное слово будет иметь длину 6 в этом примере.$4$$100$$6$

$3$$2$$n$$3$

$4$$3$

$4$$1$

$320013$$420014$

$1$$|n|$

Мы должны копировать эти слова много раз, нам потребуется одна копия каждого слова для каждого вхождения переменной в экземпляре SAT. Это создаст дубликаты в списке слов. Мы можем избавиться от дубликатов, добавив еще одну двоичную цепочку в двоичную цепочку, которая однозначно идентифицирует переменную. Эта новая цепочка однозначно идентифицирует каждое вхождение переменной.

Чтобы сделать это, мы просто присваиваем каждому вхождению переменной другую двоичную цепочку и подставляем эту цепочку в конец двоичного представления переменной.

$n_i$$i$$n_i$$|n_i|$$|n_i|$

Это избавит от дубликатов внутри переменных слов.

$x_2$

$32010013$ $42010014$$32010103$ $42010104$$32010113$ $42010114$

Гаджет

$6$

$535354$$535453$$545353$

$4$$3$$5$

$m$$m$$|m|$$|m|$, Мы добавляем каждую двоичную цепочку к словам предложения, которые принадлежат предложению.

Теперь давайте посмотрим на изображение гаджета-клаузулы на доске:

$(x_2 \lor x_3 \lor x_4)$$(x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

$4$

Если мы не разрешаем дублирование внутри списка слов, нам придется изменить изображение.

$5b5b5b10$

$b201010b$$b201110b$$b21001b$

$b$

Смотрите пример:

Гаджет переменной согласованности

Это гаджет, который гарантирует, что игрок может присвоить одинаковое значение только для всех литеральных столбцов переменной.

У нас будет новый гаджет для каждой переменной

Мы создадим два новых слова для каждого гаджета.

$2 * k$$k$$x_2$$63$ $k$$64$ $k$

$x_2$

$6363$$6464$

Если мы хотим избежать повторения слов, обратите внимание, что каждый гаджет согласованности принадлежит отдельной переменной. Таким образом, мы можем добавить двоичную цепочку, которая идентифицирует каждую переменную, к двум словам, которые мы создали для этого гаджета.

Теперь давайте рассмотрим пример изображения этого гаджета:

$x_2$$(x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

$3$$4$$3$$4$, Мы можем поместить оставшееся слово этого гагдета в другой ряд

Если мы не допустим дублирования в списке слов, слова внутри примера изображения будут:

Для строк:

$6b6b010$$6b6b010$

Для столбцов:

$b201001b$$b201010b$

$b$

Смотрите пример:

Гаджет дампа клаузулы

Это гаджет, созданный для размещения неиспользованных слов предложения. Для этого нам нужно всего лишь разместить две строки для каждого слова предложения в пустой части доски. Эти строки не связаны ни с какой другой строкой или столбцом.

На этом мы заканчиваем сокращение, поскольку мы утверждали, что нам нужно только 6 символов для сокращения.

пример

Если предыдущее объяснение сбивало с толку, вот пример изображения положительного значения 1 в 3 SAT, которое было сведено к этой проблеме слов:

Если мы запрещаем повторные слова:

Экземпляр, который был уменьшен:

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

Я думаю, что следующее сокращение от Направленного гамильтонова пути работает:

$G=(V,E)$$s,t\in V$

$V\cup \{*\}$$*$$V$

$v*v$$v\in V$$vu$$(u,v)\in E$

$|V|$

$|E|-(|V|-1)$

$s*s$$t*t$

Теперь, чтобы заполнить ступеньки, внутри шагов можно поместить только слова-вершины, а чтобы соединить две вершины, между ними нужно вставить слово ребра, которое соответствует существующему ребру в графе. Неиспользованные края можно положить во вторую часть доски. Второе направление тривиально.

Я думаю, что это работает (набросок правильности, который я набросал, в лучшем случае махнул рукой, но все же).