Проблема изоморфизма графов для помеченных графов

В случае немаркированных графов проблема изоморфизма графов может быть решена с помощью ряда алгоритмов, которые очень хорошо работают на практике. То есть, хотя наихудшее время выполнения является экспоненциальным, обычно оно имеет полиномиальное время выполнения.

Я надеялся, что ситуация аналогична в случае помеченных графов. Однако мне действительно трудно найти какую-либо ссылку, которая предлагает «практически эффективный» алгоритм.

Замечание: Здесь мы требуем, чтобы изоморфизм сохранил метки. То есть изоморфизм между двумя конечными членами алгебры автоматов / процессов будет означать, что автоматы / члены по существу "равны переименованию узлов".

Единственная ссылка, которую я нашел, была в Википедии, в которой говорится, что проблема изоморфизма помеченных графов может быть полиномиально сведена к проблеме обычных графов. Основная статья, однако, больше касается теории сложности, чем практических алгоритмов.

Я что-то упускаю, или это действительно так, что нет эффективных «эвристических» алгоритмов, чтобы решить, изоморфны ли два помеченных графа?

Любой намек или ссылка будет здорово.

algorithms graph-theory graph-isomorphism

— Максимум
источник

Было бы неплохо дать ссылки на статью в Википедии и на статью, которую вы нашли, чтобы избавить нас от неприятностей.

— Бабу

Что вы подразумеваете под изоморфизмом, который «сохраняет метки»? В контексте автомата метки вершин различны. Следовательно, любой изоморфизм тривиально «сохраняет метки» в том смысле, что две вершины в источнике, имеющие разные метки, также должны иметь разные метки на изображении. Эта проблема идентична проблеме изоморфизма обычных графов. Если вы имеете в виду, что изоморфизм должен отображать одну и ту же вершину с одной и той же меткой, алгоритм тривиален, когда метки вершин всегда различны: просто убедитесь, что карта тождества на метках является изоморфизмом.

— Дэвид Ричерби

Если вы хотите рассмотреть случай, когда несколько вершин могут иметь одну и ту же метку, а изображение вершины должно иметь ту же метку, что и оригинальная, это часто называют изоморфизмом между цветными графами . В этом случае есть простое сокращение общего GI путем замены цветов на гаджеты. Вероятно, вы могли бы получить приличный практический алгоритм, применяя тщательно отобранные гаджеты, а затем используя стандартный алгоритм GI.

— Дэвид Ричерби

Вы действительно не хотите считать два ребра с меткой ребра изоморфными, если существует обычный изоморфизм орграфа, который также сохраняет классы эквивалентности меток? В вашем примере, рассматривая оба как FA, языки, принятые

, в то время как разные (возможно), на самом деле являются просто гоморфными образами друг друга подстановками

S^{*}

$S^*$

S^{'}

$S'$

a \leftrightarrow c, b \leftrightarrow d

$a\leftrightarrow c, b\leftrightarrow d$

— Рик Декер

Проблема тривиально GI-полная (просто выберите график, где все ребра имеют одинаковую метку). Для того, чтобы показать , что это не сложнее , чем изоморфизм графов, построить 1: 1 карту от меток до целых чисел (

И добавьте в середине каждого ребра , меченной символ

полный граф на вершинах

(

g : a \to 1, b \to 2, c \to 3, . . .)

$g : a\to 1, b \to 2, c \to 3, ...)$

s

$s$

g (s)

$g(s)$

K_{g (s)}

$K_{g(s)}$ ) плюс дополнительный узел на стороне стрелки края. Полученные графы изоморфны тогда и только тогда, когда исходные автоматы изоморфны.

— Vor

Ответы:

Вас может заинтересовать эта статья:

Эйдан Хоган: сколемизация пустых узлов при сохранении изоморфизма. WWW 2015: 430-440

Он имеет алгоритм (основанный на Nauty) для проверки изоморфизма RDF-графов, которые по существу являются ориентированными помеченными графами, которые могут содержать фиксированные метки. Алгоритм учитывает метки, чтобы сузить пространство поиска.

Если вы можете представить свой входной помеченный граф как RDF-график, вы можете попробовать использовать соответствующий программный пакет " blabel" для проверки изоморфизма.

— badroit
источник

Я обнаружил, что алгоритм относится к категории алгоритмов Вейсфейлера-Лемана k-размерности, и он не работает с регулярными графами. Для больше здесь:

http://dabacon.org/pontiff/?p=4148

Оригинальный пост следует:

Несколько лет назад я создал простой и гибкий алгоритм именно для этой задачи (изоморфизм графов с метками).

Я назвал его «Powerhash», и для создания алгоритма потребовалось две идеи. Первый - это алгоритм степенного итерационного графа, также используемый в PageRank. Второе - это возможность заменить внутришаговую функцию степенной итерации на что угодно. Я заменил его функцией, которая выполняет следующие действия для каждой итерации и для каждого узла:

Сортировка хешей (из предыдущей итерации) соседей узла
Хеширование сцепленных отсортированных хэшей
Заменить хеш узла вновь вычисленным хешем

На первом этапе на хеш узла влияют его прямые соседи. На втором шаге на хеш узла влияет соседство в 2 шагах от него. На N-м шаге на хеш узла будут влиять соседние N-прыжки вокруг него. Так что вам нужно только продолжать запускать Powerhash для шагов N = graph_radius. В конце концов, хэш центра графа будет затронут всем графом.

Чтобы получить окончательный хэш, отсортируйте хеши узла последнего шага и объедините их вместе. После этого вы можете сравнить последние хеши, чтобы определить, являются ли два графа изоморфными. Если у вас есть метки, то добавьте их (на первой итерации) во внутренние хэши, которые вы вычисляете для каждого узла.

Подробнее об этом вы можете посмотреть в моем посте здесь:

https://plus.google.com/114866592715069940152/posts/fmBFhjhQcZF

Вышеприведенный алгоритм был реализован внутри функциональной реляционной базы данных "madIS". Вы можете найти исходный код алгоритма здесь:

https://github.com/madgik/madis/blob/master/src/functions/aggregate/graph.py

— estama
источник

Просто предупреждение о том, что ваш алгоритм является полиномиальным, и поэтому, если он завершен, вы только что решили давнюю открытую проблему в CS о GI в P. :) (Существуют различные случаи, когда алгоритм, который вы описываете, даст ложные срабатывания .)

— Badroit

Алгоритм является приблизительным и, конечно, не полным (я говорю об этом в блоге тоже). Причина, по которой он работает, заключается в том, что хеши, которые он создает, огромны, поэтому в базе данных, содержащей даже миллионы графов, вероятность ложных коллизий хеш-значений будет бесконечно мала. Если вам удастся найти какой-либо случай ложного положительного столкновения хеша, мне было бы очень интересно узнать об этом. Причина (при использовании криптографических хэшей) заключается в том, что вам удалось «сломать» криптографическую хеш-функцию.

— Estama

Чтобы понять, насколько бесконечно мала вероятность хеш-столкновения. Я бы посчитал, что криптографический хэш 256 бит более чем достаточно, чтобы быть уверенным в том, что все различные файлы в мире не хешируют одно и то же значение (например, git использует SHA-1, который является 160-битным, чтобы гарантировать это). Хеш от Powerhash будет 128 бит * graph_node_count (с использованием хеша MD5). Так что практически, вы никогда бы не быть в состоянии создать достаточное количество графиков (в этой вселенной) , чтобы найти хэш столкновения между ними.

— estama

Я имел в виду ваш алгоритм будет давать ложные срабатывания даже при условии отсутствия хэш столкновений. Много полиномиальных алгоритмов времени были предложены для изоморфизма графов в литературе , и все они дают ложных срабатываний. Связанный с этим вопрос здесь: cs.stackexchange.com/questions/50939/... .

— badroit

Спасибо за обсуждение. Проведя дополнительные исследования, я обнаружил, что приведенный выше алгоритм относится к категории алгоритмов Вейсфайлера-Лемана k-размерности, и он не работает с регулярными графами. Для более здесь: dabacon.org/pontiff/?p=4148

— estama