Комбинаторная интерпретация лямбда-исчисления

10

По словам Питера Селинджера , Лямбда-исчисление алгебраическое (PDF). В начале этой статьи он говорит:

Известно, что комбинаторная интерпретация лямбда-исчисления несовершенна, поскольку она не удовлетворяет правилу: при интерпретации не подразумевает (Barendregt, 1984). $ξ$ $M = N$ $\lambda x.M = \lambda x.N$

Вопросов:

Какая эквивалентность подразумевается здесь?
Учитывая это определение эквивалентности, что является контрпримером импликации?

terminology lambda-calculus combinatory-logic

— Саймон Шайн
источник

7

Эквивалентность - это просто эквивалентность в обсуждаемой эквациональной теории. В данном случае это теория, изложенная в таблице 1. Обратите внимание, что в эту теорию не входит : это сделает теорию экстенсиональной, и суть в том, что уважает , в то время как это делает CL частично экстенсиональный. Я не уверен, почему другой ответ упоминает . $\lambda$ $\eta$ $\xi$ $\lambda$ $\eta$

Обратите внимание, что в : $\lambda$

\begin{matrix} (1) & (M =_{β} N) ⟹ (λ x . M =_{β} λ x . N) \end{matrix}

$(M =_\beta N) \Longrightarrow (\lambda x.M =_\beta \lambda x.N) \tag{1}$

Это должно быть интуитивно очевидно: если является -конвертируемым в когда он стоит сам по себе, то он также -конвертируемым в когда он является . $M$ $\beta$ $N$ $\beta$ $N$ $\lambda x.M$

-правило, определяется как делает этот вывод напрямую возможным, когда он является частью -theory. Его аналогом CL будет: $\xi$

\begin{aligned} M & = N \\ (ξ_{λ}) & (λ x . M) & = (λ x . N) \end{aligned}

$\begin{align} M &\;= N \\ \hline (\lambda x.M) &\;= (\lambda x.N) \tag{$\xi_\lambda$} \end{align}$

λ

$\lambda$

\begin{aligned} M & = N \\ (ξ_{C L}) & (λ^{*} x . M) & = (λ^{*} x . N) \end{aligned}

$\begin{align} M &\;= N \\ \hline (\lambda^* x.M) &\;= (\lambda^* x.N) \tag{$\xi_{CL}$} \end{align}$

Теперь дело в том, что в CL не выполняется следующее :

\begin{matrix} (2) & (M =_{w} N) ⟹ (λ^{*} x . M =_{w} λ^{*} x . N) \end{matrix}

$(M =_w N) \Longrightarrow (\lambda^* x.M =_w \lambda^*x.N) \tag{2}$

Другими словами, если два члена слабо равны, то это не обязательно верно для их псевдообращенных версий.

Следовательно, если мы добавим к теории CL, то начнем приравнивать члены, которые имеют разные нормальные формы. $\xi_{CL}$

Запись. Здесь обозначает слабое равенство. Это означает, что можно преобразовать в (и наоборот) с помощью ряда сокращений и (возможно, также , если это является частью теории). Как вы, вероятно, знаете, - это аналог CL . $M =_w N$ $M$ $N$ $\mathsf{S}$ $\mathsf{K}$ $\mathsf{I}$ $=_w$ $=_\beta$

$\lambda^*$ - это псевдоабстрактор, как определено на странице 5 вашего документа. Он имеет следующее свойство:

\begin{matrix} (3) & (λ^{*} x . M) N ⊳_{w} [N / x] M \end{matrix}

$(\lambda^*x.M)N \rhd_w [N/x]M \tag{3}$

Это свойство позволяет легко найти аналог CL для любого -term: просто измените на и примените переводы в соответствии с определением . $\lambda$ $\lambda$ $\lambda^*$ $\lambda^*$

Чтобы было ясно, «контрпример» в этом ответе не является контрпримером к (2). Потому что если у нас есть:

\begin{matrix} (4) & M = x \end{matrix}

$M = x \tag{4}$

\begin{matrix} (5) & N = (λ^{*} z . z) x \end{matrix}

$N = (\lambda^*z.z)x \tag{5}$

Тогда действительно означает (применяя переводы страницы 5 и тот факт, что определяется как в конце страницы 4): $N$ $\mathsf{I}$ $\mathsf{SKK}$

\begin{matrix} (6) & N = (λ^{*} z . z) x = I x = S K K x \end{matrix}

$N = (\lambda^*z.z)x = \mathsf{I}x = \mathsf{SKK}x \tag{6}$

Так , мы действительно имеем , что . Однако, если это контрпример, мы должны иметь это . Но если мы переведем, мы действительно получим: $\mathsf{SKK}x \rhd_w \mathsf{K}x(\mathsf{K}x) \rhd_w x$ $M =_w N$ $(\lambda^* y. M) \not=_w (\lambda^* y. N)$

\begin{matrix} (7) & (λ^{*} y . M) = (λ^{*} y . x) = K x \end{matrix}

$(\lambda^* y. M) = (\lambda^* y. x) = \mathsf{K}x \tag{7}$

\begin{matrix} (8) & (λ^{*} y . N) = (λ^{*} y . S K K x) = K (S K K x) \end{matrix}

$(\lambda^* y. N) = (\lambda^* y. \mathsf{SKK}x) = \mathsf{K}(\mathsf{SKK}x)\tag{8}$

И легко проверить, что (7) и (8) все еще слабо равны, для:

\begin{matrix} (9) & K (S K K x) ⊳_{w} K (K x (K x)) ⊳_{w} K x \end{matrix}

$\mathsf{K}(\mathsf{SKK}x) \rhd_w \mathsf{K}(\mathsf{K}x(\mathsf{K}x)) \rhd_w \mathsf{K}x \tag{9}$

Теперь правильным контрпримером к (2) будет:

M = K x y

$M = \mathsf{K}xy$

N = x

$N = x$

Так , мы , безусловно , есть , что . Однако, если вы внимательно переведете абстрагированные версии, то увидите, что обе они представляют собой разные нормальные формы - и они не могут быть преобразованы в соответствии с теоремой Черча-Россера. $\mathsf{K}xy \rhd_w x$ $M =_w N$

Сначала мы проверяем : $M'$

\begin{aligned} M^{'} & = λ^{*} x . K x y \\ = S (λ^{*} x . K x) (λ^{*} x . y) \\ = S (λ^{*} x . K x) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (λ^{*} x . x)) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (I)) (K y) \\ = S (S (λ^{*} x . K) (S K K)) (K y) \\ = S (S (K K) (S K K)) (K y) \end{aligned}

$\begin{align} M' &= \lambda^* x.\mathsf{K}xy \\ &= \mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K}x)(\lambda^* x.y)\\ &= \mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K}x)(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\lambda^* x.x))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\mathsf{I}))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\lambda^* x.\mathsf{K})(\mathsf{SKK}))(\mathsf{K}y) \\ &= \mathsf{S}(\mathsf{S}(\mathsf{KK})(\mathsf{SKK}))(\mathsf{K}y) \end{align}$ Здесь вы можете убедиться, что является нормальной формой. Здесь вы можете проверить, что , как и следовало ожидать, если должен вести себя как абстрактный для CL.

M^{'}

$M'$

(λ^{*} x . K x y) P ⊳_{w} P

$(\lambda^* x.Kxy)P \rhd_w P$

λ^{*}

$\lambda^*$

Теперь мы проверяем : $N'$

\begin{aligned} N^{'} & = λ^{*} x . x \\ = I \\ = S K K \end{aligned}

$\begin{align} N' &= \lambda^*x.x \\ &= \mathsf{I} \\ &= \mathsf{SKK} \end{align}$

Что, очевидно, является нормальной формой, отличной от , поэтому по теореме Черча-Россера. Отметим также , что , т.е. и „дают одинаковый выход“ для произвольных входов . $M'$ $M' \not=_w N'$ $N'P \rhd_w P$ $M'$ $N'$ $P$

Теперь мы доказали, что (2) не выполняется в CL, и что теория CL, включающая будет приравнивать термины, которые не являются слабо равными. Но почему мы заботимся? $\xi$

Ну, во-первых, это делает комбинаторную интерпретацию несовершенной: очевидно, не все метатеоретические свойства переносятся. $\lambda$

Кроме того, и, возможно, что еще более важно, хотя существуют экстенсиональные теории и CL, они изначально и обычно сохраняются как интенсиональные. Интенсивность является хорошим свойством, потому что и CL моделируют вычисления как процесс, и с этой точки зрения две разные программы (в частности, термины, которые имеют различную нормальную форму), которые всегда дают одинаковые результаты (при равных входных данных), не должны приравниваться. уважает этот принцип в , и если мы хотим сделать экстенсиональным, мы можем просто добавить, например, . Но введение $\lambda$ $\lambda$ $\xi$ $\lambda$ $\lambda$ $\eta$ $\xi$ в CL больше не сделал бы это полностью интенциональным (фактически, только частично так). И это причина «s„Известность“, как кладет статью. $\xi$

— Рой О.
источник

1

Я не могу комментировать качество, потому что мало знаю предмет, но это похоже на небольшую работу. Ценится, спасибо!

— Рафаэль

Действительно, пост закончился дольше, чем я ожидал. Спасибо за ваш комментарий. :)

— Рой О.

2

Ах это. Бывает . Регулярно .

— Рафаэль

3

РЕДАКТИРОВАТЬ Этот ответ является неправильным, как правильно указал другой ответчик. Я использовал перевод в комбинаторную логику от Asperti & Longo, который немного отличается от того, что в Selinger.

Фактически, это иллюстрирует ключевой момент: «комбинаторная интерпретация» лямбда-исчисления - это не единственная вещь! Разные авторы делают это немного по-разному.

Я оставляю свой ответ здесь для потомков, но другой ответ лучше.

Эквивалентность в этом контексте определяется таблицами 1 и 2 в статье Селинджера. Однако, немного другая аксиоматизация может сделать вещи немного более ясными.

Что это действительно означает, так это то, что два термина обратимы в теории . Мы можем определить «конвертируемость» следующими двумя аксиомами: $\lambda$

$\beta$ . , если свободен для в $(\lambda x. M) N = [N/x]M$ $x$ $N$ $M$
$\eta$ . , если не свободен в $\lambda y. M y = M$ $y$ $M$

плюс, конечно же, обычные аксиомы и правила вывода, необходимые для конгруэнтности. Из этого должно быть очевидно, что любой контрпример будет опираться на условие свободной переменной при нарушении правила . $=$ $\eta$

Я думаю, что это, наверное, самое простое:

M = x

$M = x$

N = (λ z . z) x

$N = (\lambda z. z) x$

Вы можете убедиться, что , но их соответствующие комбинаторные интерпретации не равны по правилам в таблице 2. $\lambda y. M = \lambda y. N$

— Псевдоним
источник

Что я не понимаю в вашем ответе: 1) зачем упоминать , хотя теория в Таблице 1 не включает его и является явно интенциональной? 2) Как происходят комбинаторные интерпретации и не равно? Вывод в моем ответе показывает, что они есть. 3) Правило не рассматривается, хотя это и является причиной проблемы.

η

$\eta$

λ y . M

$\lambda y.M$

λ y . N

$\lambda y. N$

ξ

$\xi$

— Рой О.