Нахождение хотя бы двух путей одинаковой длины в ориентированном графе

Предположим , что мы имеем ориентированный граф и два узла и . Я хотел бы знать, есть ли уже алгоритмы для расчета следующей задачи решения: $G=(V,E)$ $A$ $B$

Есть ли хотя бы два пути между и одинаковой длины? $A$ $B$

Как насчет сложности? Могу ли я решить это за полиномиальное время?

Я хотел бы добавить новое ограничение на график, возможно, проблема более разрешима. На матрице смежности каждый столбец не пустой. Таким образом, каждый узел имеет по крайней мере одну стрелку на входе, и к нему также подключен по крайней мере один узел. Таким образом, если узел является узлом, то является ребром в графе. $i$ $(i,i)$

— Паоло Паризен Т.
источник

Вы имели в виду простые пути? (посещение каждого узла не более одного раза). Также им разрешено иметь общий внутренний узел?

нет, нет ограничений на пути Вы можете зацикливаться, если хотите.

— Паоло Паризен Т.

Простое наблюдение заключается в следующем: если между

существует только один простой путь , и этот простой путь связан не более чем с одним циклом, вы можете просто сказать

, если к этому простому соединены хотя бы два цикла различной длины путь, вы могли бы сказать да, .... (я думаю, что подобные вещи полезны, и вы могли бы доказать это), но в случае несвязанных простых путей (если во время доказательства этого вы сталкивались с непересекающимися простыми путями), это NPC.

A, B

$A,B$

N o

$No$

@ mrm: я не вижу это как дубликат. Запрашивание всех прогулок является чрезвычайно трудоемкой операцией (в общем, количество прогулок бесконечно), тогда как OP запрашивает два (простых) пути, а не все обходы.

— Дэйв Кларк,

Ответы:

Рассмотрим граф , мы хотим знать, существуют ли два разных пути от до одинаковой длины. Что делать? Просто: закодируйте два пути в одном. Определим граф с вершинами . Вы делаете шаг в , сделав два самостоятельных шагов в . Дополнительный бит сообщает вам, не разделены ли два пути друг от друга. $G$ $A$ $B$ $G'$ $V \times V \times \{0,1\}$ $G'$ $G$

Формально существует ребро в тогда только тогда, когда , в и . $(i,j,e) \to (i',j',e')$ $G'$ $i \to i'$ $j \to j'$ $G$ $e'=e ∨ (i,i')≠(j,j')$

Алгоритм проверяет, существует ли путь к в , который является , или что-то вроде . $(A,A,0)$ $(B,B,1)$ $G'$ $O(V^4)$ $O((V+E)^2)$

Если вы согласны с тем, что этот алгоритм корректен, то, как следствие, длина пути в не превышает , поэтому потенциальные «коллизии пути» должны иметь место не позднее этой длины. Из этого наблюдения можно получить алгоритм , где - сложность умножения матриц (спросите, нужен ли вам спойлер ...). $G'$ $2n^2$ $O(V^{\omega} \log V)$ $\omega$

Я твердо чувствую, что есть алгоритм , который использует больше структуры проблемы. $O(V+E)$

— sdcvvc
источник

Это элегантно.

— Рафаэль

Возможно, у меня есть ответ на эту проблему, но я не уверен, что это работает.

Не важно «найти» два пути, единственная важная вещь - «знать», существуют они или нет. Я не думаю, что это полная проблема NP.

Итак, возьмите матрицу смежности . Мы можем легко предположить, что он заполнен значением 0,1. (0 = нет ребра; 1 = есть ребро) Давайте используем следующую алгебру с 3 значениями (0,1,2), где все работает как обычно, кроме: ; $\textbf A$ $2+\text{<something>} = 2$ $2*\text{<whatever greater than 0>} = 2$

Таким образом, если есть два пути одинаковой длины от я ожидаю, что существует значение такое, что . $i,j$ $p$ $(\textbf A^p)_{i,j} = 2$

Пусть - номер вершины в графе (или, скажем, имеет размерность ). Я не знаю значения , но если я итерирую , умножая на себя не более я должен найти ответ. (итак, ) (смысл в том, что я проверяю , затем я проверяю , затем я проверяю и так далее ...) $n$ $\textbf A$ $n\times n$ $p$ $\textbf A$ $n^2$ $p<n^2$ $\text A$ $\text A^2$ $\text A^3$

вот моя аргументация:

если два пути - простые пути, хорошо, это работает; если есть, самое большее, я должен повторить раз. $n$
$n^2$ $n^2$
$\alpha + \beta m = \gamma + \delta k$ $m$ $k$ $\text A^q$ $i$ $j$ $q$ $\textbf A^q$ $1$ $i$ $j$ $n^2$ $\delta$ $\beta$ $LCM(a,b)$ $(a*b)/GCD(a,b)$ $n$

$(\textbf A^p)_{i,j} = 2$

Я ошибаюсь?

— Паоло Паризен Т.
источник

α

$\alpha$

γ

$\gamma$

2

$2$

n^{2}

$n^2$

n

$n$

α

$\alpha$

γ

$\gamma$

L C M (a, b) + α + γ < a * b + α + γ

$LCM(a,b) + \alpha+\gamma < a*b+\alpha + \gamma$

α + γ + a + b < n

$\alpha+\gamma+a+b < n$

a * b + α + γ

$a*b+\alpha+\gamma$

n^{2}

$n^2$