Лямбда-исчисление: разница между контекстами и контекстами оценки

Во-первых, я хотел бы сказать, что мой текст ниже может содержать ошибки, поэтому не стесняйтесь указывать на любые ошибки в моей формулировке вопроса.

Рассмотрим нетипизированное лямбда-исчисление с логическими значениями и операторами if, термины которых задаются этим синтаксисом:

 t ::= v | t t | if t t t | x
 v ::= \x.t | #t | #f

Контексты C в этом случае будут заданы в соответствии с этим синтаксисом:

C ::= [-] | \x. C | C t | t C | if C t t | if t C t | if t t C

Кроме того, можно определить контексты оценки E согласно этому другому синтаксису:

E ::= [-] | \x. E | v E | E t | if E t t

Я разделил свой вопрос на три подпункта, которые я хотел бы рассмотреть.

Когда используются два понятия? Например, я знаю, что контексты оценки используются для определения семантики исчисления, но использование контекстов все еще несколько ускользает от меня. Также я хотел бы получить подтверждение моих знаний здесь.
Когда одно предпочтительнее другого и почему?
Не могли бы вы указать соответствующие статьи, которые могут помочь мне разобраться в этом вопросе?

programming-languages lambda-calculus

Ответы:

Контекст используется для многих целей, но обычно для определения конгруэнции в программах. Оценочные контексты являются подмножеством контекстов. Они обычно используются для определения редукционных отношений. Позвольте мне привести пример каждого.

Один формальный способ определения программы равенства есть две программы , и являются контекстуально равны , они могут заменять друг друга в каждом контексте без изменения поведения. Мы можем определить это следующим образом: и контекстуально равны при условии всех замыкающих контекстов для и : тогда и только тогда, когда . Мы говорим, что контекст закрывается для $M$ $N$ $M$ $N$ $C[\cdot]$ $M$ $N$ $C[M] \Downarrow t$ $C[N] \Downarrow t$ $M, N$ если ни ни имеют свободных переменных. Выражение означает, что программа за конечное число шагов уменьшается до значения . (Кроме того, обратите внимание, что определение контекстуальной эквивалентности более широко используется для богатых понятий вычислений, например, параллельных процессов.) $C[M]$ $C[N]$ $M \Downarrow t$ $M$ $t$

Напротив, контексты оценки - это контексты, которые не блокируют оценку. Точнее, контекст оценки - это термин с дырой в точке, где должен произойти следующий шаг восстановления атома (или он может иметь место для недетерминированных вычислений). Таким образом, следующее правило должно выполняться для контекстов оценки: В качестве примера использования контекстов оценки рассмотрим правила редукции длявычисления по вызову, где мы не уменьшаемся при. Таким образом, даже когда, у нас нет сокращения. Это можно легко выразить с помощью общего контекстуального правила, приведенного выше, вместе с грамматикой для контекстов оценки, в которой пропущенывыражения. Оценочные контексты были впервые использованы в

\frac{M \to N}{E [M] \to E [N]}

$\frac{M \rightarrow N}{E[M] \rightarrow E[N]}$

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

M \to N

$M \rightarrow N$

λ x . M \to λ x . N

$\lambda x.M \rightarrow \lambda x.N$

λ

$\lambda$ Пересмотренный доклад о синтаксических теориях последовательного контроля и государства Феллайзена и Хиба.

— Мартин Бергер
источник

Контекст - это синтаксическое понятие. Контекст - это термин с одной дырой. (Иногда существуют многозадачные контексты, определение будет дано четко в этом случае.) Синтаксис контекстов определяется путем принятия синтаксиса терминов и предоставления возможности одному подтерму быть дырой вместо термина. В BNF (я использую лямбда-исчисления в качестве примера, без булевы и если заявления , которые не приносят ничего к примеру.): $[]$

C ::= [] ∣ x ∣ t C ∣ C t ∣ λ x . C

$C ::= [] \mid x \mid t \, C \mid C \, t \mid \lambda x.C$

$C[]$ $t$ $C[t]$ $t$ $[]$ $C[t]$ $[]$ $t$

(λ x . M) N \to_{β} M {x \leftarrow N}

$(\lambda x. M) \, N \to_\beta M \{x\leftarrow N\}$

M {x \leftarrow N}

$M \{x\leftarrow N\}$

x \mapsto N

$x \mapsto N$

M

$M$

$t$ $M$ $N$ $x$ $t = (\lambda x. M) \, N$ $t$ $t'$ $t' = (\lambda x. M) \, N$ $t$ $C$ $M$ $N$ $x$ $t = C[(\lambda x. M) \, N]$ $C[M \{x\leftarrow N\}]$

\frac{}{(λ x . M) N \to_{β} M {x \leftarrow N}} (β) \frac{M \to_{β} N}{C [M] \to_{β} C [N]} (γ)

$\dfrac{}{(\lambda x. M) \, N \to_\beta M \{x\leftarrow N\}} (\beta) \qquad \dfrac{M \to_\beta N}{C[M] \to_\beta C[N]} (\gamma)$

\frac{}{(λ x . M) N \to_{β} M {x \leftarrow N}} (β) \frac{M \to_{β} N}{λ x . M \to_{β} λ x . N} (C_{λ}) \frac{M \to_{β} N}{M P \to_{β} N P} (C_{@ <}) \frac{M \to_{β} N}{P M \to_{β} P N} (C_{@ >})

$\dfrac{}{(\lambda x. M) \, N \to_\beta M \{x\leftarrow N\}} (\beta) \\ \dfrac{M \to_\beta N}{\lambda x. M \to_\beta \lambda x. N} (C_\lambda) \qquad \dfrac{M \to_\beta N}{M \, P \to_\beta N \, P} (C_{@\lt}) \qquad \dfrac{M \to_\beta N}{P \, M \to_\beta P \, N} (C_{@\gt})$

Это определение приводит к бета-сокращению, то есть понятию оценки, которое позволяет уменьшить любую подтерму. Вычисления, выполняемые на языках программирования, часто не позволяют сократить подтермы внутри функций: правило сокращения может применяться только на верхнем уровне, либо на левой или правой стороне приложения. Мы можем выразить это, определив новый тип контекста, который не допускает всех синтаксических форм: Мы можем использовать этот синтаксис для определения семантического понятия неполной оценки: Мы также можем представить это определение, расширив его, как мы делали выше для полного бета-сокращения:

D ::= [] ∣ x ∣ t D ∣ D t

$D ::= [] \mid x \mid t \, D \mid D \, t$

\frac{}{(λ x . M) N \to_{n p} M {x \leftarrow N}} \frac{M \to_{n p} N}{D [M] \to_{n p} D [N]}

$\dfrac{}{(\lambda x. M) \, N \to_{np} M \{x\leftarrow N\}} \qquad \dfrac{M \to_{np} N}{D[M] \to_{np} D[N]}$

\frac{}{(λ x . M) N \to_{n p} M {x \leftarrow N}} (β) \frac{M \to_{n p} N}{M P \to_{n p} N P} (C_{@ <}) \frac{M \to_{n p} N}{P M \to_{n p} P N} (C_{@ >})

$\dfrac{}{(\lambda x. M) \, N \to_{np} M \{x\leftarrow N\}} (\beta) \\ \dfrac{M \to_{np} N}{M \, P \to_{np} N \, P} (C_{@\lt}) \qquad \dfrac{M \to_{np} N}{P \, M \to_{np} P \, N} (C_{@\gt})$

D

$D$ будет называться контекстом оценки, поскольку он используется для определения понятия оценки. Контекст оценки не является особым видом контекста; скорее, назвать его контекстом оценки - это вопрос того, для чего используется этот контекст .

Я приведу еще один пример контекста. Определим значения соответствии со следующим синтаксисом: Теперь давайте определим другой тип контекстов: По сравнению с выше, дыра может быть на стороне функции приложения, если аргумент приложения равен ценность. Затем определите следующее понятие сокращения: $V$

V ::= x V_{1} \dots V_{n} ∣ λ x . M

$V ::= x V_1 \ldots V_n \mid \lambda x. M$

E ::= [] ∣ M E ∣ E V

$E ::= [] \mid M \, E \mid E \, V$

D

$D$

\frac{}{(λ x . M) V \to_{c b v a} M {x \leftarrow V}} (β_{c b v a}) \frac{M \to_{β} N}{E [M] \to_{c b v a} E [N]} (γ_{c b v a})

$\dfrac{}{(\lambda x. M) \, V \to_{cbva} M \{x\leftarrow V\}} (\beta_{cbva}) \qquad \dfrac{M \to_\beta N}{E[M] \to_{cbva} E[N]} (\gamma_{cbva})$ С ограничением, что аргумент функции должен быть значением в первом правиле, и что лямбда-абстракции не являются контекстами, мы определяем стратегию оценки по значению. С дополнительным ограничением на то, что аргумент оценивается перед функцией, это - аппликативный вызов порядка по значению.

— Жиль "ТАК - прекрати быть злым"
источник

Ваше последнее определение контекстов оценки ближе к исходному понятию Феллайзена и Хиба. Они являются синтаксическим средством, помогающим выразить порядок оценки условий исчисления. Контекст оценки - это особый вид контекста, поскольку он позволяет однозначно разделить термин на контекст и переопределить (когда это возможно), тем самым детерминистически указав, где должен произойти следующий шаг сокращения.

— Дейв Кларк

@DaveClarke Кроме того, вы также можете использовать контексты оценки для определения оценки для недетерминированных понятий вычислений, где у вас нет уникальной декомпозиции в контекст оценки и переопределения.

— Мартин Бергер

@MartinBerger: Действительно.

— Дейв Кларк

@DaveClarke Вы имеете в виду « детерминированный контекст оценки - это особый вид контекста»? Я могу взять произвольный набор контекстов и определить стратегию оценки на его основе.

— Жиль "ТАК - перестань быть злым"

@ Жиль: контексты оценки могут определять детерминистическую стратегию сокращения. Я не думаю, что видел фразу «детерминированный контекст оценки». Это, конечно, особый вид контекста. Я согласен с вашим комментарием; Дело в том, что ваш ответ не учитывает историческое значение контекстов оценки, которые должны были определить детерминистическое понятие сокращения.

— Дейв Кларк