Границы времени выполнения на алгоритмах NP полных задач, предполагающих P ≠ NP

Предположим , $P\neq NP$ .

Что мы можем сказать о границах выполнения всех NP-полных задач?

т. е. каковы наиболее узкие функции $L,U:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ для которых мы можем гарантировать, что оптимальный алгоритм для любой NP-полной задачи выполняется во времени, по крайней мере, $\omega(L(n))$ и не более чем $o(U(n))$ на входе длины $n$ ?

Очевидно, что $\forall c:L(n)=\Omega(n^c)$ . Также $U(n) = O(2^{n^{\omega(1)}})$ .

Не предполагая, что $QP\neq NP$ , $ETH$ или любое другое предположение, которое не подразумевается под $P\neq NP$ , можем ли мы дать более точные оценки для $L,U$ ?

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Обратите внимание, что по крайней мере один из должен быть далек от границ, которые я дал здесь, поскольку, будучи проблемами NPC, эти проблемы имеют многократное сокращение времени между собой, что означает, что если у некоторой задачи NPC есть оптимальный алгоритм времени , то во всех задачах есть алгоритм (оптимальный или нет) времени выполнения . $L,U$ $f(n)$ $O(f(n^{O(1)}))$

— RB
источник

если P

NP, мы можем сказать, что границы времени выполнения больше, чем любой многочлен .... ааааа нет, лучшие оценки не известны .... много обозначений не chg что ... существуют суперполиномиальные, но субэкспоненциальные например,

\neq

$\neq$

2^{\log n}

$2^{\log n}$

— vzn

Во- первых,

просто линейным, так что я полагаю , вы имеете в виду

, который известен как класс

. Я полностью понимаю, что

не означает, что любая NP-полная функция будет работать в экспоненциальном времени, но я не об этом. Например, предполагая , что

, это возможно , что проблема NPC может быть решена в

2^{\log n}

$2^{\log n}$

2^{p o l y l o g (n)}

$2^{polylog(n)}$

Q P

$QP$

P \neq N P

$P\neq NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

, где

- обратная функция Аккермана? Обозначения - просто инструмент, используемый для формального выражения моего вопроса ..

2^{l o g (n) \cdot l o g^{*} (n)}

$2^{log(n)\cdot log^*(n)}$

l o g^{*} (n)

$log^*(n)$

— РБ

спасибо за исправление. очень мало известно в этой области afaik. попробуйте этот вопрос NTime (n ^ k) =? DTime (n ^ k) tcs.se

— vzn

@RB Хотя верно, что в каждом «возможном мире» есть нижняя и верхняя границы, которые находятся примерно в полиноме друг от друга, неясно, какие априорные границы возможны.

— Юваль Фильмус

Моя интерпретация вопроса заключается в том, что спрашивает о возможностях в релятивизированных мирах . Предположу , что в некотором Релятивизированном мире, . Можем ли мы вывести что-нибудь нетривиальное о временной сложности NP-полных задач? В аргументе Бейкер-Гилл-Соловеет показывает , что мы можем «сила» некоторые проблемы NP для требуем экспоненциального времени, поэтому верхняя граница , данным в вопросе, по существу , является оптимальным. $P \neq NP$

Что касается нижней границы, ниже мы приводим набросок доказательства того, что относительно некоторого оракула . Предполагая, что набросанное доказательство является правильным, мы также можем применить его к функциям, меньшим , и это показывает, что нижняя граница, приведенная в вопросе, также по существу жесткая. $NP = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$ $2^{O(\log^2 n)}$

Эскиз доказательства. Мы строим два оракула : первый ведет себя как -полная задача, а второй реализует диагонализацию Бейкера – Гилла – Соловая. Упаковать оба оракула в один оракул просто. $O_1,O_2$ $\mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$

Оракула состоит из всех пар такое , что является оракул Тьюринга машина , которая принимает в рабочем времени $O_1$ $\langle M, x \rangle$ $M$ $x$ когда предоставляется доступ к оракуламограничен входами длиной не более $2^{2^{\sqrt{\log |x|}}}$ $O_1,O_2$ , (Это не круговое определение.) $2^{\sqrt{\log |x|}}$

Оракул определяется так же, как оракул определяется по Бейкеру-Гиллу-Соловаю: для каждой синхронизируемой машины Тьюринга оракула работающей за время , мы находим некоторую входную длину которая равна «нетронутым», запустите на для шагов, и для каждого запроса к размера мы отмечаем, что этот ввод не находится в (для других запросов мы также отмечаем, что ввода нет, если мы не уже решил, что это в $O_2$ $M$ $T = 2^{o(\log^2 n)}$ $n$ $M$ $1^n$ $T$ $O_2$ $n$ $O_2$ ). Запросы к обрабатываются аналогично (как неявные запросы к $O_2$ $O_1$ $O_1,O_2$ меньшего размера, обрабатывается рекурсивно); обратите внимание, что такие запросы никогда не упоминают строки длины в , так как $n$ $O_2$ . Если машина принимает, мы помечаем все другие строки длинывкак отсутствующие, в противном случае мы выбираем некоторую строку длиныи помещаем ее в. $2^{\sqrt{\log T}} < n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$

The class $P^{O_1,O_2}$ consists of all programs running in time $2^{2^{O(\sqrt{\log n})}}$ , making queries to $O_1,O_2$ of size $2^{O(\sqrt{\log n})}$ . The class $NP^{O_1,O_2}$ is of the form $x \mapsto \exists |y|<n^C \varphi(x,y)$ , where $\varphi \in P^{O_1,O_2}$ , and so it is contained in the class of all programs running in time $2^{n^C}$ and making oracle queries of size $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $\mathrm{TIME}(2^{\log^2 n^C})^{O_1,O_2}$ $O_1$ $NP^{O_1,O_2} \subseteq \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$ .

For the other direction, let $L$ be the language which consists of $1^n$ for each $n$ such that $O_2$ contains some string of length $n$ . By construction of $O_2$ , $L \notin \mathrm{TIME}(2^{o(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$ , while clearly $L \in NP^{O_1,O_2}$ . This shows that $NP^{O_1,O_2} = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$ .

— Yuval Filmus
источник

I have to admint I didn't fully understand your answer, but if, as you mentioned, some NP-complete problem

Π

$\Pi$ is only solvable in

Ω (2^{n^{c}})

$\Omega(2^{n^c})$ , then all other NPC problems are also only solvable in

Ω (2^{n^{Ω (1)}})

$\Omega(2^{n^{\Omega(1)}})$ , as there's a poly time reduction to them from

Π

$\Pi$ , which means that otherwise you'd have a better algorithm for

Π

$\Pi$ . This implies for example

Q P \neq N P

$QP\neq NP$ and

E T H

$ETH$ doesn't it? What am I missing?

— R B

Well, it doesn't imply

E T H

$ETH$ , but it does look it may imply

Q P \neq N P

$QP\neq NP$ .

— R B

You're not missing anything. There is a relativized world in which ETH is true. There is another relativized world where P=NP, and so in particular ETH is false.

— Yuval Filmus

But not in all reletivized worlds in which

P \neq N P

$P\neq NP$ ,

Q P \neq N P

$QP\neq NP$ is true as well, right? There is a chance that

P ⊊ Q P = N P

$P\subsetneq QP = NP$ . From what I understood from your answer, if

P \neq N P

$P\neq NP$ there exist a NPC problem whose lower bound is exponential, and I'm wondering why it's true.

— R B

In my answer I (purportedly) give a relativized world in which

N P = T I M E (n^{O (\log n)})

$NP = \mathrm{TIME}(n^{O(\log n)})$ . Another relativized world has

N P = T I M E (2^{n^{O (1)}})

$NP = \mathrm{TIME}(2^{n^{O(1)}})$ . In yet other relativized worlds,

P = N P

$P=NP$ . Regarding

Q P

$QP$ , I don't claim anything about it.

— Yuval Filmus

Границы времени выполнения на алгоритмах NP полных задач, предполагающих P ≠ NP

Не предполагая, что QP≠NPQP≠NPQP\neq NP , ETHETHETH или любое другое предположение, которое не подразумевается под P≠NPP≠NPP\neq NP , можем ли мы дать более точные оценки для L,UL,UL,U ?

Не предполагая, что $QP\neq NP$ , $ETH$ или любое другое предположение, которое не подразумевается под $P\neq NP$ , можем ли мы дать более точные оценки для $L,U$ ?