Почему важно, чтобы функции были анонимными в лямбда-исчислении?

Я смотрел лекцию Джима Вейриха « Приключения в функциональном программировании ». В этой лекции он вводит понятие Y-комбинаторов, которое, по существу, находит неподвижную точку для функций более высокого порядка.

Один из мотивов, как он упоминает, состоит в том, чтобы иметь возможность выражать рекурсивные функции с использованием лямбда-исчисления, так что теория Чёрча (все, что эффективно вычисляется, может быть вычислено с использованием лямбда-исчисления) остается.

Проблема в том, что функция не может вызывать себя просто так, потому что лямбда-исчисление не допускает именованных функций, т. Е.

не может носить имя ' ', оно должно быть определено анонимно:$n$

Почему для лямбда-исчисления важно иметь функции, которые не названы? Какой принцип нарушается, если есть именованные функции? Или я просто неправильно понял видео Джима?

Основная теорема, касающаяся этого вопроса, принадлежит британскому математику конца 16 века по имени Уильям Шекспир . Его самая известная статья на эту тему под названием « Ромео и Джульетта » была опубликована в 1597 году, хотя исследовательская работа была проведена несколькими годами ранее, но вдохновила таких предшественников, как Артур Брук и Уильям Пейнтер.

Его основной результат, изложенный в акте II. Сцена II , это знаменитая теорема :

Что в имени? то, что мы называем розой под
любым другим именем, будет пахнуть сладко;

Эта теорема может быть интуитивно понята как «имена не способствуют значению».

Большая часть статьи посвящена примеру, дополняющему теорему и показывающему, что, хотя имена не имеют никакого значения, они являются источником бесконечных проблем.

Как было отмечено Шекспира, имена могут быть изменены без изменения значения, операция , которая позже назвали конверсия$\alpha$ от Алонзо церкви и его последователей. Как следствие, не обязательно просто определить, что обозначается именем. В связи с этим возникает множество вопросов, таких как разработка концепции среды, в которой указывается связь между значением и именем, и правила, позволяющие узнать текущую среду, когда вы пытаетесь определить значение, связанное с именем. Некоторое время это сбивало с толку компьютерщиков, создавая технические трудности, такие как печально известная проблема Фунарга, Среды остаются проблемой в некоторых популярных языках программирования, но обычно считается, что физически небезопасно быть более конкретным, почти таким же смертоносным, как пример, разработанный Шекспиром в его статье.

Эта проблема также близка к проблемам, возникающим в теории формального языка , когда алфавиты и формальные системы должны быть определены с точностью до изоморфизма , чтобы подчеркнуть, что символы алфавитов являются абстрактными объектами , независимо от того, как они «материализуются» как элементы из некоторого набора.

Этот главный результат Шекспира показывает также, что наука тогда расходилась с магией и религией, где существо или смысл могли иметь истинное имя .

Вывод из всего этого заключается в том, что для теоретической работы зачастую удобнее не быть обремененным именами, даже если это может быть проще для практической работы и повседневной жизни. Но помните, что не все, кого зовут Мама, это ваша мать.

Примечание :
этот вопрос был рассмотрен недавно американским логиком ХХ века Гертрудой Стейн . Однако ее коллеги-математики все еще размышляют над точными техническими последствиями ее основной теоремы :

Роза это роза это роза это роза.

опубликовано в 1913 году в коротком сообщении под названием «Священная Эмилия».

Я хотел бы высказать мнение, которое отличается от мнений @babou и @YuvalFilmus: для чистого λ- калькулятора жизненно важно иметь анонимные функции. Проблема с наличием только именованных функций заключается в том, что вам нужно заранее знать, сколько имен вам потребуется. Но в чистом λ- калькуляторе у вас нет априорной привязки к числу используемых функций (подумайте о рекурсии), поэтому вы либо используете (1) анонимные функции, либо (2) вы идете по маршруту π- калькулятора и предоставляете свежий комбинатор имен ( ν x . P в π- калькуляторе), который дает неисчерпаемый запас свежих имен во время выполнения.$\lambda$$\lambda$$\pi$$\nu x.P$$\pi$

$\lambda$$\lambda$$\lambda$

$\mathsf{let} f = M \mathsf{in} N$$(\lambda f.N)M$$\lambda$

Я считаю, что идея в том, что имена не нужны. Все, что требует имен, может быть написано как анонимные функции.

Вы можете думать о лямбда-исчислении как о языке ассемблера. Кто-то в лекции по сборке может сказать: «На языке ассемблера нет объектно-ориентированных деревьев наследования». Затем вы могли бы придумать умный способ реализации деревьев наследования, но это не главное. Дело в том, что деревья наследования не требуются на самом базовом уровне программирования физического компьютера.

В лямбда-исчислении дело в том, что имена не требуются для описания алгоритма на самом базовом уровне.

Пока что я получаю удовольствие от 3 ответов, особенно от анализа Шекспира в babou, но они не проливают свет на то, что, по моему мнению, является сутью вопроса.

λ-исчисление связывает имена с функциями всякий раз, когда вы применяете функцию к функции. Проблема не в отсутствии имен.

«Проблема в том, что функция не может вызвать сама себя», ссылаясь на свое имя.

(В чистом Лиспе привязка имени -> функции находится вне области действия внутри тела функции. Чтобы функция вызывала себя по имени, функция должна ссылаться на среду, которая ссылается на функцию. Чистый Лисп не имеет циклические структуры данных. Нечистый Лисп делает это, изменяя среду, на которую ссылается функция.)

Как указал @MartinBerger, историческая причина, по которой λ-исчисление не позволяет функции вызывать себя по имени, была попыткой исключить парадокс Карри, когда он пытался использовать λ-исчисление в качестве основы математики, включая дедуктивную логику. Это не сработало, поскольку такие методы, как Y-комбинатор, допускают рекурсию даже без ссылки на себя.

Из Википедии:

Если мы можем определить функцию r = (λ.x x x ⇒ y)тогда r r = (r r ⇒ y).

Если r rэто правда, то yэто правда. Если r rложно, то r r ⇒ yверно, что является противоречием. Так yчто верно, и, как yи любое утверждение, любое утверждение может быть доказано.

r rявляется не заканчивающимся вычислением. Логическим r rсчитается выражение для значения, которого не существует.