Quine в чистом лямбда-исчислении

Я хотел бы привести пример квин в чистом лямбда-исчислении . Я был довольно удивлен, что я не мог найти один, прибегая к помощи. На странице квин есть списки квин для многих «настоящих» языков, но не для лямбда-исчисления.

Конечно, это означает определение того, что я имею в виду под квинем в лямбда-исчислении, которое я делаю ниже. (Я прошу что-то вполне конкретное.)

В некоторых местах, например, Larkin and Stocks (2004), я вижу следующее, цитируемое как «самовоспроизводящееся» выражение: $(\lambda x.x \; x)\;(\lambda x.x \; x)$ . Это сводится к себе после одного шага бета-сокращения, придавая ему ощущение, похожее на quine. Тем не менее, он не похож на quine в том смысле, что он не завершается: дальнейшие бета-сокращения будут продолжать производить то же выражение, поэтому он никогда не приведёт к нормальной форме. Для меня quine - это программа, которая завершает и выводит сама себя, и поэтому я хотел бы получить лямбда-выражение с этим свойством.

Конечно, любое выражение, которое не содержит переопределений, уже находится в нормальной форме и поэтому будет завершаться и выводить себя. Но это слишком тривиально. Поэтому я предлагаю следующее определение в надежде, что оно допустит нетривиальное решение:

определение (предварительное): Квина в лямбда-исчислении - это выражение вида

Учитывая, что лямбда-исчисление является эквивалентом Тьюринга, как и любой другой язык, кажется, что это возможно, но мое лямбда-исчисление ржаво, поэтому я не могу придумать пример.

Ссылка

Джеймс Ларкин и Фил Стокс. (2004) "Самовоспроизводящиеся выражения в лямбда-исчислении". Конференции в области исследований и практики в области информационных технологий, 26 (1), 167-173. http://epublications.bond.edu.au/infotech_pubs/158

Вы хотите термин такой, что ∀ M ∈ Λ :$Q$$\forall M \in \Lambda$

Я не буду указывать никаких дополнительных ограничений на (например, в отношении его формы и того, является ли он нормализующим), и я покажу вам, что он определенно не должен быть нормализующим.$Q$

1. Предположим , находится в нормальной форме. Выберите M ≡ x (мы можем сделать это, потому что теорема должна выполняться для всех M ). Тогда есть три случая.$Q$$M \equiv x$$M$

   • - некоторый атом а . Тогда Q M ≡ a x . Это не сводится к.$Q$$a$$QM \equiv ax$$a$
   • является некоторым приложением ( R S ) . Тогда Q M ≡ ( R S ) x . ( R S ) является нормальной формой по предположению, поэтому ( R S ) x также находится в нормальной форме и не сводится к ( R S ) .$Q$$(RS)$$QM \equiv (RS)x$$(RS)$$(RS)x$$(RS)$
   • - некоторая абстракция ( λ x . A ) (если x предполагается свободным в A , то для простоты мы можем просто выбрать M, эквивалентный любой переменной λ, над которой абстрагируется). Тогда Q M ≡ ( λ х . ) Х ⊳ & beta ; [ х / х ] ≡ . Поскольку ( λ x . A ) находится в нормальной форме, то и$Q$$(\lambda x.A)$$x$$A$$M$$\lambda$$QM \equiv (\lambda x.A)x \rhd_\beta A[x/x] \equiv A$$(\lambda x.A)$$A$, Следовательно, мы не можем привести к ( λ x . A ) .$A$$(\lambda x.A)$

   Поэтому, если такой существует, он не может быть в нормальной форме.$Q$

2. Для полноты, предположим , что имеет нормальную форму, но не в нормальной форме (возможно , это слабо нормирующий), т.е. ∃ N ∈ & beta ; -NF с N ≢ Q такие , что ∀ M ∈ Л : Q M ⊳ & beta ; Q ⊳ & beta$Q$ $\exists N \in \beta\text{-nf}$$N \not\equiv Q$$\forall M \in \Lambda$

   $$QM \rhd_\beta Q \rhd_\beta N$$

   Тогда при также должна существовать редукционная последовательность Q x ⊳ β N x ⊳ β N , потому что:$M \equiv x$$Qx \rhd_\beta Nx \rhd_\beta N$

   • возможносчет тогочто Q ⊳ & beta ; N .$Qx \rhd_\beta Nx$$Q \rhd_\beta N$
   • должен нормализоваться, поскольку N является β -nf, а x является просто атомом.$Nx$$N$$\beta$$x$
   • Если бы нормализовалось ни к чему, кроме N , то Q x имеет две β- nfs, что невозможно по следствию из теоремы Черча-Россера. (Теорема Черча-Россера по существу утверждает, что сокращения, как вы, наверное, уже знаете, слиты).$Nx$$N$$Qx$$\beta$

   Но обратите внимание, что невозможно по аргументу (1) выше, поэтому наше предположение о том, что Q имеет нормальную форму, неверно.$Nx \rhd_\beta N$$Q$

3. Если мы допустим такое , то мы уверены, что оно должно быть ненормализующим. В этом случае мы можем просто использовать комбинатор, который исключает любой аргумент, который он получает. Предложение Дениса работает очень хорошо: Q ≡ ( λ z . ( Λ x . Λ z . ( X x ) ) ( λ x . Λ z . ( X x ) ) ). Тогда только в двух β- сокращениях: Q $Q$

   $$Q \equiv (\lambda z.(λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x)))$$ $\beta$ $$\begin{align} QM &\equiv (\lambda z.(λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x))) M \\ & \rhd_{1\beta} (λx.λz.(x x)) (λx.λz.(x x)) \\ & \rhd_{1\beta} (λz.((λx.λz.(x x))(λx.λz.(x x))) \\ & \equiv Q \end{align}$$

Этот результат не очень удивителен, так как вы , по сути, просите термин, который исключает любые аргументы, которые он получает, и это то, что я часто упоминаю как прямое применение теоремы о фиксированной точке.

С одной стороны, это невозможно, потому что предполагается, что квинна выводит свой собственный код, а чистое лямбда-исчисление не имеет средств для выполнения вывода.

С другой стороны, если вы предполагаете, что результирующее слагаемое является выходным, то каждая нормальная форма является квине.

Например, лямбда-член уже является нормальной формой, и, если предположить, что его выходные данные являются результирующей нормальной формой, выходные данные будут ( λ x . X ) . Таким образом, ( λ x . X ) является квине.$(\lambda x. x)$$(\lambda x. x)$$(\lambda x. x)$

Вот предложение:

$A$$f=\lambda t. (\lambda z.t)$

$Y=\lambda g.((\lambda x.g\ (x\ x))\ (\lambda x.g\ (x\ x)))$$A=Y f=(\lambda x.\lambda z.(x\ x))\ (\lambda x.\lambda z.(x\ x))$

$A$$A$$\lambda z.A$$y$$(\lambda z.A)y \to_\beta A \to_\beta (\lambda z.A)$