Определить пропущенный номер в потоке данных

Мы получаем поток из $n-1$ попарно различных чисел из множества $\left\{1,\dots,n\right\}$ .

Как я могу определить пропущенное число с помощью алгоритма, который читает поток один раз и использует память только $O(\log_2 n)$ бит?

Вы знаете , и потому чтоS=n(n+1$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ может быть закодирована вO(журнал(п))биты это может быть сделано вO(журналN)памяти и в одном пути (просто найтиS-сутгентСум, это отсутствует число).$S = \frac{n(n+1)}{2}$$O(\log(n))$$O(\log n)$$S - \mathrm{currentSum}$

Но эту проблему можно решить в общем случае (для константы ): у нас есть k пропущенных чисел, выяснить их все. В этом случае вместо того, чтобы вычислять просто сумму y i , вычислите сумму j-й степени x i для всех 1 ≤ j ≤ k (я предположил, что x i - это пропущенные числа, а y i - входные числа):$k$$k$$y_i$$x_i$$1\le j \le k$$x_i$$y_i$

$\qquad \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^k x_i &= S_1,\\ \sum_{i=1}^k x_i^2 &= S_2,\\ &\vdots \\ \sum_{i=1}^k x_i^k &= S_k \end{align}$ $\qquad (1)$

Помните , что вы можете вычислить просто, потому что S 1 = S - Е у я , S 2 = Σ я 2 - Σ у 2 я , ...$S_1,...S_k$$S_1 = S - \sum y_i$$S_2 = \sum i^2 - \sum y_i^2$

Теперь, чтобы найти пропущенные числа, вы должны решить чтобы найти все x i .$(1)$$x_i$

Вы можете вычислить:

, P 2 = ∑ x i ⋅ x j , ..., P k = ∏ x i ( 2 ) .$P_1 = \sum x_i$$P_2 = \sum x_i\cdot x_j$$P_k = \prod x_i$ $(2)$

Для этого помните, что , P 2 = S 2 1 - S $P_1 = S_1$ , ...$P_2 = \frac{S_1^2 - S_2}{2}$

Но - это коэффициенты P = ( x - x 1 ) ⋅ ( x - x 2 ) ⋯ ( x - x k ), но P можно учесть однозначно, поэтому вы можете найти пропущенные числа.$P_i$$P=(x-x_1)\cdot (x-x_2) \cdots (x-x_k)$$P$

Это не мои мысли; прочитайте это .

Из комментария выше:

Перед обработкой потока, выделение бит, в котором вы пишете х : = ⨁ п я = 1 б я п ( я ) ( б я п ( я ) является двоичным представлением I и ⊕ точечен исключающим или). Наивно, это занимает O ( N ) время.$\lceil \log_2 n \rceil$$x:= \bigoplus_{i=1}^n \mathrm{bin}(i)$$\mathrm{bin}(i)$$i$$\oplus$$\mathcal{O}(n)$

После обработки потока, всякий раз , когда один считывает число , вычислить х : = х ⊕ б я п ( J ) . Пусть к будет одно число из { 1 , . , , n } это не входит в поток. Прочитав весь поток, мы имеем x = ( n ⨁ i = 1 b i n ( i ) ) ⊕ ( ⨁ i ≠ k$j$$x := x \oplus \mathrm{bin}(j)$$k$$\{ 1, ... n\}$ получением желаемого результата.

Следовательно, мы использовали пространство и имели общее время выполнения O ( n ) .$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(n)$

value$O(\log_2 n)$ биты, но я уверен, что вы можете легко показать, как на самом деле устанавливается только это количество бит.

Для тех, кто хочет псевдокод, используя простой $\text{fold}$ операция с эксклюзивом или ($\oplus$):

Волнообразное доказательство: A $\oplus$ никогда не требует большего количества бит, чем его вход, поэтому из вышесказанного не требуется, чтобы промежуточный результат, описанный выше, требовал больше, чем максимальные биты ввода (поэтому $O(\log_2 n)$ биты). $\oplus$ коммутативен, и $x \oplus x = 0$таким образом, если вы расширите вышеприведенное и объедините все данные, присутствующие в потоке, у вас останется только одно несоответствующее значение, отсутствующее число.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>

using namespace std;

void find_missing( int const * stream, int len );

int main( int argc, char ** argv )
{
    if( argc < 2 )
    {
        cerr << "Syntax: " << argv[0] << " N" << endl;
        return 1;
    }
    int n = atoi( argv[1] );

    //construct sequence
    vector<int> seq;
    for( int i=1; i <= n; ++i )
        seq.push_back( i );

    //remove a number and remember it
    srand( unsigned(time(0)) );
    int remove = (rand() % n) + 1;
    seq.erase( seq.begin() + (remove - 1) );
    cout << "Removed: " << remove << endl;

    //give the stream a random order
    std::random_shuffle( seq.begin(), seq.end() );

    find_missing( &seq[0], int(seq.size()) );
}

//HdM's solution
void find_missing( int const * stream, int len )
{
    //create initial value of n sequence xor'ed (n == len+1)
    int value = 0;
    for( int i=0; i < (len+1); ++i )
        value = value ^ (i+1);

    //xor all items in stream
    for( int i=0; i < len; ++i, ++stream )
        value = value ^ *stream;

    //what's left is the missing number
    cout << "Found: " << value << endl;
}