Можем ли мы построить сокращение Карпа из уменьшения Кука между проблемами NP?

У нас было несколько вопросов о связи сокращений Кука и Карпа . Понятно, что сокращения Кука (сокращения Тьюринга за полиномиальное время) не определяют то же понятие NP-полноты, что и сокращения Карпа (сокращения многозначного за полиномиальное время), которые обычно используются. В частности, уменьшение Кука не может отделить NP от co-NP, даже если P NP. Поэтому мы не должны использовать сокращения Кука в типичных доказательствах сокращения.$\neq$

Теперь студенты нашли рецензируемую работу [1], в которой используется уменьшение Кука, чтобы показать, что проблема NP-сложная. Я не дал им полную оценку за сокращение, которое они взяли оттуда, но мне интересно.

Поскольку сокращение Кука сделать определение аналогичного понятия твердости , как сокращение Карпа, я чувствую , что они должны быть в состоянии отделить Р от NPC соответственно. со-NPC, предполагая, что P NP. В частности, (что-то вроде) должно быть верно следующее:$\neq$

$\qquad\displaystyle L_1 \in \mathrm{NP}, L_2 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}, L_2 \leq_{\mathrm{Cook}} L_1 \implies L_1 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}$ .

Важным самородком является то, что так что отмеченная выше нечувствительность обходится. Теперь мы «знаем» - по определению NPC - что .L 2 ≤ K a r p L $L_1 \in \mathrm{NP}$$L_2 \leq_{\mathrm{Karp}} L_1$

Как заметил Вор , это не так просто (адаптированные обозначения):

Предположим, что , то по определению, для всех языков мы иметь ; и если приведенное выше утверждение верно, то и, следовательно, который все еще остается открытым вопросом.$L_1 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Cook}}$$L_2 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}} \subseteq \mathrm{NP}$$L_2 \leq_{\mathrm{Cook}} L_1$$L_1 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}$$\mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}} = \mathrm{NPC}_{\mathrm{Cook}}$

Могут быть и другие различия между двумя NPC, кроме совместной NP.

В противном случае, существуют ли какие-либо известные (нетривиальные) критерии для случая, когда уменьшение Кука подразумевает твердость по Карпу-NP, т.е. знаем ли мы предикаты с$P$

$\qquad\displaystyle L_2 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}, L_2 \leq_{\mathrm{Cook}} L_1, P(L_1,L_2) \implies L_1 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}$ ?

1. О сложности множественного выравнивания последовательностей Л. Вана и Т. Цзян (1994)

Это, в общем, открытая проблема TCS, которая является предметом продолжающегося исследования того, являются ли & точные условия сокращений Кука и Карпа эквивалентными и, по-видимому, тесно связано с открытым вопросом NP =? coNP и другими разделениями классов сложности, например, E =? NE (относительно редких языков).

Вот две исследовательские работы на эту тему и дальнейшие ссылки на tcs.se через аналогичный вопрос:

• Кук и Карп всегда одинаковы? Бейгель, Фортноу

• Кук против Карпа-Левина: разделяющие понятия полноты, если NP не маленький (1995) Lutz, Mayordomo

• много сокращений одного против сокращений Тьюринга для определения NPC , tcs.se

В общем, для того, чтобы механически превратить задачу, полную по Каку, в проблему, полную по Карпу, в самом языке должно быть что-то особенное .

Например, даже сильно ограниченная версия сокращения Кука, а именно отрицательное сокращение (сведение к одному экземпляру, как это делает Karp, запрос ответа, затем отрицание), потребовала бы чего-то особенного в языке чтобы легко превратить его в стандартное сокращение Karp.$L$

Можно сказать, что если обладает следующим свойством :$L$

Для любого экземпляра мы можем за полиномиальное время произвести , такое что .$x$$x'=f(x)$$L(x)\neq L(x')$

Таким образом, мы можем получить стандартное уменьшение Карпа, сначала уменьшив до отрицательное, а затем вывести .$g(x)$$f(g(x))$

Как видите, эти свойства обычно не видны в теории сложности, теории вычислимости. В заключение, вряд ли удастся превратить Кука в Карпа.