Доказательство (не) пригодности этого N-го простого повторения

Как следует из моего предыдущего вопроса , я играл с гипотезой Римана как с рекреационной математикой. В ходе этого процесса я столкнулся с довольно интересным повторением, и мне любопытно, как оно называется, как оно сокращается, и как оно приспосабливается к разрешимости разрыва между простыми числами.

Говоря кратко, мы можем определить разрыв между каждым простым числом как повторение предыдущих простых чисел- кандидатов . Например, для нашей базы $p_0 = 2$ следующее простое число будет:

$\qquad \displaystyle p_1 = \min \{ x > p_0 \mid -\cos(2\pi(x+1)/p_0) + 1 = 0) \}$

Или, как мы видим из графика : .$p_1 = 3$

Мы можем повторить процесс для простых чисел, оценивая каждого кандидата, повторяющегося вперед. Предположим, мы хотим получить следующее простое число, . Наша функция-кандидат становится:р $n$$p_2$

$\qquad \displaystyle \begin{align} p_2 = \min\{ x > p_1 \mid f_{p_1}(x) + (&(-\cos(2\pi(x+1)/p_1) + 1) \\ \cdot &(-\cos(2\pi(x+2)/p_1) + 1)) = 0\} \end{align}$

Где:

$\qquad \displaystyle f_{p_1}(x) = -\cos(2\pi(x+1)/p_0) + 1$ , как указано выше.

Легко видеть, что каждая компонентная функция обнуляется только для целочисленных значений, и одинаково легко показать, как это ловко фиксирует наши отношения в форме AND и XOR, используя свойства сложения и умножения в контексте тригонометрической системы. уравнения.

Повторение становится:

$\qquad f_{p_0} = 0\\ \qquad p_0 = 2\\ \qquad \displaystyle f_{p_n}(x) = f_{p_{n-1}}(x) + \prod_{k=2}^{p_{n-1}} (-\cos(2\pi(x+k-1)/p_{n-1}) + 1)\\ \qquad \displaystyle p_n = \min\left\{ x > p_{n-1} \mid f_{p_n}(x) = 0\right\}$

... где вся проблема зависит от того, можем ли мы вычислить оператор над этой функцией за полиномиальное время. По сути, это обобщение сита Эратосфена .$\min$

Рабочий код Python для демонстрации повторения:

from math import cos,pi

def cosProduct(x,p):
    """ Handles the cosine product in a handy single function """
    ret = 1.0
    for k in xrange(2,p+1):
        ret *= -cos(2*pi*(x+k-1)/p)+1.0
    return ret

def nthPrime(n):
    """ Generates the nth prime, where n is a zero-based integer """

    # Preconditions: n must be an integer greater than -1
    if not isinstance(n,int) or n < 0:
        raise ValueError("n must be an integer greater than -1")

    # Base case: the 0th prime is 2, 0th function vacuous
    if n == 0:
        return 2,lambda x: 0

    # Get the preceding evaluation
    p_nMinusOne,fn_nMinusOne = nthPrime(n-1)

    # Define the function for the Nth prime
    fn_n = lambda x: fn_nMinusOne(x) + cosProduct(x,p_nMinusOne)

    # Evaluate it (I need a solver here if it's tractable!)
    for k in xrange(p_nMinusOne+1,int(p_nMinusOne**2.718281828)):
        if fn_n(k) == 0:
            p_n = k
            break

    # Return the Nth prime and its function
    return p_n,fn_n

Быстрый пример:

>>> [nthPrime(i)[0] for i in range(20)]
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71]

Беда в том, что я сейчас над головой, и математически, и как ученый. В частности, я не компетентен с анализом Фурье , с определением равномерных покрытий или со сложной плоскостью в целом, и меня беспокоит, что этот подход либо совершенно ошибочен, либо скрывает скрывающийся ужас проблемы 3SAT, которая поднимает ее до NP-полнота.

Таким образом, у меня есть три вопроса здесь:

1. Учитывая мой краткий рецидив выше, возможно ли детерминистически вычислить или оценить расположение нулей в полиномиальном времени и пространстве?
2. Если так или нет, то скрывает ли он какие-либо другие подзадачи, которые делали бы решение Polytime или Polyspace неразрешимым?
3. И если каким-то чудом (1) и (2) выдержать, какие усовершенствования в динамическом программировании вы бы выполнили для удовлетворения этого повторения с высокого уровня? Ясно, что итерации по одним и тем же целым числам через несколько функций неэлегатны и довольно расточительны.

Следующая статья показывает, что PRIMES находится в P (он также получил награду Gödel в 2006 году):

http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/algebra/primality_v6.pdf

Задавая решение N-й процедуры минимизации простых чисел алгоритму AKS PRIMES (по модулю вычитания), мы можем эффективно получить поддающееся обработке решение для рекуррентного отношения (если вы можете доказать, что простой разрыв задан рекуррентным отношением).

Исходники можно найти в интернете. Я не указываю на них здесь, потому что я не проверял их лично.

$\sqrt{n}$