Является ли дополнение {ww | …} Без контекста?

Определим язык $L$ как $L = \{a, b\}^* - \{ww\mid w \in \{a, b\}^*\}$ . Другими словами, $L$ содержит слова, которые не могут быть выражены как какое-то слово, повторенное дважды. Является ли $L$ контекстно-свободный или нет?

Я пытался пересечь $L$ с $a^*b^*a^*b^*$ , но до сих пор ничего не могу доказать. Я также посмотрел на теорему Париха, но это не помогает.

Это без контекста. Вот грамматика:

S → A | Б | A B | B A A → a | a A a | a A b | b A b | b A a B → b | a B a | a B b | b B b | b B $S \to A | B|AB|BA$
$A \to a|aAa|aAb|bAb|bAa$
$B \to b|aBa|aBb|bBb|bBa$

A генерирует слова нечетной длины с a в центре. То же самое для B и б .$A$$a$$B$$b$

Я представлю доказательство того, что эта грамматика верна. Пусть L = { a , b } ∗ ∖ { w w ∣ w ∈ { a , b } ∗ } (язык в вопросе).$L = \{a,b\}^* \setminus \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$

Теорема. L = L ( S ) . Другими словами, эта грамматика порождает язык в вопросе.$L = L(S)$

Доказательство. Это , конечно , имеет место для всех нечетных слов длины, так как эта грамматика порождает все нечетные длины слов, как это делает L . Итак, давайте сосредоточимся на четных словах.$L$

Предположим, что x ∈ L имеет четную длину. Я покажу, что x ∈ L ( G ) . В частности, я утверждаю, что x можно записать в форме x = u v , где и u, и v имеют нечетную длину и разные центральные буквы. Таким образом, x может быть получен из A B или B A (в зависимости от того, является ли центральная буква u буквой a или b ). Обоснование претензии: пусть я буква $x \in L$$x \in L(G)$$x$$x=uv$$u$$v$$x$$AB$$BA$$u$$a$$b$$i$$x$обозначим x i , так что x = x 1 x 2 ⋯ x n . Тогда, поскольку x отсутствует в { w w ∣ w ∈ { a , b } n / 2 } , должен существовать некоторый индекс i, такой что x i ≠ x i + n / 2 . Следовательно, мы можем взять u = x 1 ⋯ x 2 i $x_i$$x = x_1 x_2 \cdots x_n$$x$$\{ww \mid w \in \{a,b\}^{n/2}\}$$i$$x_i \ne x_{i+n/2}$1 иv= x 2 i ⋯ x n ; центральная букваuбудет x i , а центральная букваvбудет x i + n / 2 , поэтому по построениюu,vимеют разные центральные буквы.$u = x_1 \cdots x_{2i-1}$$v = x_{2i} \cdots x_n$$u$$x_i$$v$$x_{i+n/2}$$u,v$

Далее предположим, что x ∈ L ( G ) имеет четную длину. Я покажу , что мы должны иметь х ∈ L . Если x имеет четную длину, он должен быть получен из A B или B A ; без ограничения общности, предположу , что выводимо из A B , и х = у v , где у выводим из А и V выводим из B . Если u , v имеют одинаковую длину, то мы должны иметь u $x \in L(G)$$x \in L$$x$$AB$$BA$$AB$$x=uv$$u$$A$$v$$B$$u,v$v (поскольку они имеют разные центральные буквы), поэтому x ∉ { w w ∣ w ∈ { a , b } ∗ } . Итак, предположим , что u , v имеют разную длину, скажем, длину ℓ и n - ℓ соответственно. Тогда их центральные буквы - это u ( ℓ + 1 ) / 2 и v ( n - ℓ + 1 ) / 2 . Тот факт, что$u\ne v$$x \notin \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$$u,v$$\ell$$n-\ell$$u_{(\ell+1)/2}$$v_{(n-\ell+1)/2}$$u,v$ have different central letters means that $u_{(\ell+1)/2} \ne v_{(n-\ell+1)/2}$. Since $x=uv$, this means that $x_{(\ell+1)/2} \ne x_{(n+\ell+1)/2}$. If we attempt to decompose $x$ as $x=ww'$ where $w,w'$ have the same length, then we'll discover that $w_{(\ell+1)/2} = x_{(\ell+1)/2} \ne x_{(n+\ell+1)/2} = w'_{(\ell+1)/2}$, i.e., $w\ne w'$, so $x \notin \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$. In particular, it follows that $x \in L$.

This language is context free it was proved in the following paper:

Tomaszewski, Zach. "A Context-Free Grammar for a Repeated String." Journal of Information and Computer Science, 2012 (PDF).

The grammar is as follows: