) алгоритм для задачи K-клики

Проблема клики - это хорошо известная неполная задача где размер требуемой клики является частью входных данных. Однако задача k-клики имеет тривиальный алгоритм полиномиального времени ( O ( n k ), когда k является постоянным). Меня интересуют самые известные верхние границы, когда k является постоянным.$NP$$O(n^k)$$k$

Есть ли алгоритм с временем выполнения ? О ( п к ) -time алгоритм также является приемлемым. Кроме того, есть ли теоретико-сложное следствие для существования таких алгоритмов?$O(n^{k-1})$$o(n^k)$

3-клика может быть найдена в вершинном графе G за время O ( n ω ) , где ω < 2.376 - показатель умножения матриц, а в пространстве O ( n 2 ) - результат Итай и Роде [1] , По сути, они показывают, что G содержит треугольник тогда и только тогда, когда ( A ( G ) ) 3 имеет ненулевую запись на своей главной диагонали. Поскольку треугольник также является циклом C $n$$G$$O(n^\omega)$$\omega < 2.376$$O(n^2)$$G$$(A(G))^3$$C_3$, можно использовать общие методы поиска цикла для обнаружения треугольников. Алон, Юстер и Цвик показывают, как треугольники могут быть обнаружены на графе граней за O ( m 2 ω / ( ω + 1 ) ) = O ( m 1,41 ) время [6].$m$$O(m^{2\omega/(\omega+1)}) = O(m^{1.41})$

Долгое время результаты Несетрила и Поляка [2] были самыми известными; они показали, что число клик размером может быть найдено во времени O ( n ω k ) и O ( n 2 k ) пространстве. Наконец, Эйзенбранд и Грандони [3] улучшили результаты Несетрила и Поляка для ( 3 k + 1 ) -клика и ( 3 k + 2 ) -клика для малых значений k . В частности, они дали алгоритмы для нахождения кликов размером 4, 5 и 7 во времени $3k$$O(n^{\omega k})$$O(n^{2k})$$(3k+1)$$(3k+2)$$k$ , O ( n 4.220 ) и O ( n 5.714 ) соответственно.$O(n^{3.334})$$O(n^{4.220})$$O(n^{5.714})$

Насколько я знаю, для общих проблема разработки лучших алгоритмов является открытой. Для возможных последствий или теоретических соображений сложности Дауни и его коллеги (см., Например, [4]) показали, что k- клик с параметром k является W [ 1 ] -твердым. Класс W [ 1 ] обозначает класс параметризованных задач решения, сводимых к CLIQUE с параметризованными редукциями. Считается, что CLIQUE не трактуется с фиксированными параметрами. Существуют сотни других проблем, которые, как известно, эквивалентны CLIQUE при параметризованных сокращениях. Кроме того, Фейге и Килиан [5, раздел 2] имеют результат, говорящий, что когда $k$$k$$k$$W[1]$$W[1]$$k$является частью входных данных и , тогда алгоритм polytime вряд ли будет существовать.$k \approx \log n$

Если вы рассматриваете некоторые классы ограниченных графов, вы можете решить эту проблему за линейное время на хордовых графах. Просто вычислите дерево кликов хордального графа за O ( n + m ) времени, а затем проверьте, имеет ли клика любой размер точно k . На плоских графах также можно найти треугольники за O ( n ), используя методы из [6].$G$$O(n+m)$$k$$O(n)$

[1] Итай, Алон и Майкл Родех. «Нахождение минимальной схемы на графике». SIAM Journal of Computing 7.4 (1978): 413-423.

[2] Нешетржил, Ярослав и Сватоплук Поляк. «О сложности подграфа». Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae 26.2 (1985): 415-419.

[3] Эйзенбранд, Фридрих и Фабрицио Грандони. «О сложности фиксированного параметра клика и доминирующего множества». Теоретическая информатика 326.1 (2004): 57-67.

[4] Дауни Р.Г. и Майкл Р. Товарищи. «Основы параметризованной сложности». Тексты по информатике, Springer-Verlag (2012).

[5] Фейге, Уриэль и Килиан, Джо. «Об ограниченном и полиномиальном недетерминизме». Чикагский журнал теоретической информатики. (1997)

[6] Алон, Нога, Рафаэль Юстер и Ури Цвик. «Нахождение и подсчет заданных циклов длины». Algorithmica 17.3 (1997): 209-223.