Краткое и точное доказательство сильной теоремы двойственности для линейного программирования

Рассмотрим линейные программы

\begin{array}{ccc} п р я м a L : & A \vec{Икс} \leq \vec{б} & Максимум {\vec{с}}^{T} \vec{Икс} \end{array}

$\begin{array}{|ccc|} \hline Primal: & A\vec{x} \leq \vec{b} \hspace{.5cm} & \max \vec{c}^T\vec{x} \\ \hline \end{array}$

\begin{array}{ccc} D U a L : & \vec{с} \leq {\vec{Y}}^{T} A & мин {\vec{Y}}^{T} \vec{б} \end{array}

$\begin{array}{|ccc|} \hline Dual: & \vec{c} \leq \vec{y}^TA \hspace{.5cm} & \min \vec{y}^T\vec{b} \\ \hline \end{array}$

Теорема слабой двойственности утверждает, что если и удовлетворяют ограничениям, то . Он имеет краткое и гладкое доказательство с использованием линейной алгебры: . $\vec{x}$ $\vec{y}$ $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$ $\vec{c}^T\vec{x} \leq \vec{y}^T A \vec{x} \leq \vec{y}^T\vec{b}$

Теорема о сильной двойственности гласит, что если является оптимальным решением для простого числа, то существует которое является решением для двойственного, и . $\vec{x}$ $\vec{y}$ $\vec{c}^T\vec{x} = \vec{y}^T\vec{b}$

Есть ли такое же краткое и изящное доказательство для сильной теоремы двойственности?

— Кава
источник

Глава 4 онлайн-курса Массачусетского технологического института web.mit.edu/15.053/www Брэдли, Хакса и Магнанти дает достаточно короткое доказательство в этом направлении. Это то, что вы ищете?

— Коди

@ Коди, ну, это похоже на то, что в CLRS. Это может быть хорошо, если вы можете выразить это гладким способом линейной алгебры (т.е. без сумм).

— Каве

Кажется, то, что я хотел, возможно, не возможно. Фаркас использует замкнутость пространства, а это означает, что, вероятно, нет доказательства чисто линейной алгебры.

— Каве

Пытаюсь найти что-то не слишком громоздкое для себя, показать своим ученикам (чтобы им не нужно было просто проявлять сильную двойственность в вере), и большая часть того, с чем я столкнулся, относится к категории слишком громоздкой. Только что нашел аргумент в примечаниях из класса Дэна Спилмана, который довольно короткий и, казалось бы, простой. Не уверен, что это скрывает какую-то сложность или что-то не хватает? (Еще не изучил это достаточно подробно, чтобы рассказать.) Cs.yale.edu/homes/spielman/BAP/lect12.pdf

— Магнус Ли

Ах, я думаю, центральным моментом является геометрическая интерпретация в предыдущей лекции, которая возвращает нас к семейству доказательств Simplex: cs.yale.edu/homes/spielman/BAP/lect11/lect11.pdf

— Магнус Ли Хетланд

Возможно нет. Вот концептуальный аргумент, основанный на

Фаркас Лемма : Точно одна из следующих альтернатив имеет решение:

и $Ax \le b$ $x \ge 0$

и $y^TA\ge 0$ $y^Tb < 0$

$\delta$ $\epsilon > 0$ $A'$ $A$ $-c^T$ $b'$ $b$ $-\delta - \epsilon$

$A'x'\le b'$ $y' = (y,\alpha)$

$y^TA\ge \alpha c$ $y^Tb < \alpha (\delta + \epsilon)$

$\epsilon = 0$ $\alpha > 0$

$y'$ $\alpha = 1$ $y$ $\delta \le y^Tb < \delta + \epsilon$

— Луис
источник

Я думаю, что это доказательство в лекционных заметках Джеффа Эриксона . Я ищу что-то, что избегает эпсилон-вещи (например, чистая линейная алгебра).

— Каве

То, что есть у JeffE, немного отличается, и это объясняет геометрию больше. В любом случае, вы не найдете того, что хотите, в том смысле, что допустимая область - это многогранник, а не линейное пространство, поэтому что-то в конечном итоге понадобится для этого. (Здесь он прячется в Фаркасе. Книга Гертнера и Матушека - действительно хороший справочник для этого материала. Я почти уверен, что это доказательство есть.)

— Луи