Эффективная выборка самых коротких

Пусть $G$ граф, и пусть $s$ и $t$ две вершины $G$ . Можем ли мы эффективно выбрать равномерно и независимо случайным образом кратчайший путь $s$ - $t$ из множества всех кратчайших путей между $s$ и $t$ ? Для простоты можно предположить, что $G$ простая, ненаправленная и невзвешенная.

Даже во многих ограниченных графах, число кратчайших путей между $s$ и $t$ может быть экспоненциальным в размере $G$ . Поэтому мы, естественно, хотели бы избежать вычисления всех кратчайших $s$ - $t$ путей. Я не знаю об общем случае, но мне кажется, что мы можем достичь этого для некоторых специальных классов графов.

Это похоже на то, что кто-то должен был рассмотреть раньше. Есть ли какие-либо исследования в этом направлении, или это на самом деле просто сделать даже для общих графиков?

Я не уверен на 100%, что этот ответ правильный, но здесь идет:

Я думаю, что вы можете уменьшить это до равномерно случайных произвольных путей, от , в группе DAG с одним источником и одним приемником.$s-t$

Дан график $G$

1. Создайте новый пустой орграф, .$H$
2. Сначала: запустите часть BFS кратчайшего пути Дейкстры, начиная с , отметьте все узлы их кратчайшим расстоянием от s .$s$$s$
3. Пусть минимальное расстояние от s - v ; что мы знаем из шага BFS алгоритма кратчайшего пути Дейкстры.$d(s,v)$$s-v$
4. Затем выполните следующий шаг алгоритма Дейкстры по кратчайшему пути, получите кратчайший путь, сохраните его в (перейдя назад от t к s ).$\mathbf p$$t$$s$
5. Теперь запустите следующий цикл; Расширение в комментариях и ниже:
   • $q_0=\{t\}$
   • В то время как $q_0 \ne \emptyset$
     • $q_1= \emptyset$
     • Для $u \in q_0$
       • Поэтому мы хотим найти все возможные следующие узлы для этого кратчайшего подпути из $t-u$
       • Для всех таких, что d $\text{edge}(u,v) \in G$$d(s,v) < d(s,u)$
         • $v$ соседний узел с меньшим (будет на 1 меньше)$d(s,\cdot)$$1$
         • Следовательно, - возможный подпуть в кратчайшем пути.$t-u-v$
         • Положить $v \rightarrow H, \text{di-edge}(u,v)\rightarrow H$
         • Теперь нам нужно проверить младших соседей следующем ходу.$v$
         • Положить $v \rightarrow q_1$
     • Устанавливать в q 1 : $q_0$$q_1$
       • $q_0 \leftarrow q_1$

По существу, я собирать все возможные узлы , которые могут быть использованы в кратчайшем пути, и размещение их в .$H$

Подробнее о том, как это работает:

Алгоритм кратчайшего пути Дейкстры работает, сначала запустив BFS и пометив все узлы их кратчайшими путями из $v\in G$ . Следующий шаг - вернуться из t - s и проследовать за наименее соседними узлами.$s-v$$t-s$

Дело в том, что здесь вы можете выбрать любой из наименее соседних узлов. Здесь я собираю все наименее соседние узлы на каждом шаге, что означает, что я учитываю все кратчайшие пути.

Теперь вы быстро думаете, но, эй, почему перечисление их экспоненциально, а у меня нет?

Ответ таков: поскольку я использую набор, чтобы избежать добавления одних и тех же узлов дважды, я избегаю пересчета этого для каждого возможного пути.

Теперь у нас есть DAG, который мы можем пройти любым способом из и получить кратчайший обратный путь из s - t . График должен иметь$t-s$$s-t$ как единственный источник и s как единственный сток.$t$$s$

Если вышеприведенное верно, то я думаю, что мы можем сделать еще один шаг и решить проблему следующим образом.

Дайте каждому узлу в DAG вес узла; Вес узла будет количеством путей от этого узла до . Давайте называть это$s$ .$w(v)$

Вы можете вычислить это быстро, см алгоритма , который находит ряд простых путей от й до т в G .

Когда у нас есть вес узла, мы можем выбрать путь следующим образом:

• Макет DAG как структура уровня (для визуализации)
• На каждом уровне выберите произвольный порядок между узлами, т.е. понятие «слева направо».
• Обход DAG: на каждом шаге , i ∈ [ 1 , | р | ] (где |$i$$i \in \left[1,\left|\mathbf p\right|\right]$ означает размер, в данном случае длину кратчайшего пути): $|\cdot|$
  • Пусть будет текущим узлом (начиная с$u_i$ )$t$
  • Сложите все веса дочерних элементов и, используя RNG, выберите один дочерний узел, $u_i$ равномерно между взвешенными.$v_i$
  • Установите и перейдите к следующему шагу$u_{i+1} = v_i$

Вот решение, основанное на идеях в ответе Realz Slaw. Это в основном переосмысление его идей, которое может быть более ясным или более легким для понимания. План состоит в том, что мы будем действовать в два этапа:

1. Сначала мы построим граф со следующим свойством: любой путь от s до t в S является кратчайшим путем от s до t в G , и каждый кратчайший путь из $S$$s$$t$$S$$s$$t$$G$$s$ до в G также присутствует в S . Таким образом, S содержит именно кратчайшие пути в G : все кратчайшие пути и ничего более. Как это бывает, S будет DAG.$t$$G$$S$$S$$G$$S$

2. Далее, мы будем пробовать равномерно случайным образом из всех путей от до т в S .$s$$t$$S$

Этот подход обобщает произвольный ориентированный граф , если все ребра имеют положительный вес, поэтому я объясню свой алгоритм в этих терминах. Пусть w ( u , v ) обозначает вес на ребре u → $G$$w(u,v)$$u \to v$ . (Это обобщает постановку задачи, которую вы дали. Если у вас есть невзвешенный граф, просто предположите, что каждое ребро имеет вес 1. Если у вас есть неориентированный граф, обрабатывайте каждое неориентированное ребро как два направленных ребра u → v и v → у .)$(u,v)$$u\to v$$v\to u$

Шаг 1: экстракт . $S$ Запустите алгоритм кратчайших путей из одного источника (например, алгоритм Дейкстры) на , начиная с источника s . Для каждой вершины v в G пусть d ( s , v ) обозначает расстояние от s до $G$$s$$v$$G$$d(s,v)$$s$$v$ .

Теперь определим граф следующим образом. Он состоит из каждого ребра u → v такого, что (1) u → v является ребром в G и (2) d $S$$u \to v$$u \to v$$G$ .$d(s,v) = d(s,u) + w(u,v)$

Граф имеет несколько удобных свойств:$S$

• Каждый кратчайший путь из в t в G существует как путь в S : кратчайший путь s = v 0 , v 1 , v 2 , … , v k = t в G обладает свойством d ( s , v i + 1). ) = d ( s , v i ) + w ( v i , v $s$$t$$G$$S$$s=v_0,v_1,v_2,\dots,v_k=t$$G$. , поэтому ребро v i → v i + 1 присутствует в$d(s,v_{i+1})=d(s,v_i)+w(v_i,v_{i+1})$$v_i \to v_{i+1}$$S$

• Каждый путь в из S к т является кратчайшим в G . В частности, рассмотрим любой путь в S от s до t , скажем, s = v 0 , v 1 , v 2 , … , v k = t . Его длина определяется суммой весов его ребер, а именно: ∑ k i = 1 w ( v i - 1 , v $S$$s$$t$$G$$S$$s$$t$$s=v_0,v_1,v_2,\dots,v_k=t$$\sum_{i=1}^k w(v_{i-1},v_i)$ , но по определению эта сумма равна ∑ k i = 1 ( d ( $S$ , который телескопирует к d ( s , t ) - d ( s , s $\sum_{i=1}^k (d(s,v_i)-d(s,v_{i-1})$ поэтому этот путь является кратчайшим путем от s до t в.$d(s,t)-d(s,s)=d(s,t)$$s$$t$$G$

• Наконец, отсутствие ребер с нулевым весом в означает, что S dag.$G$$S$

Шаг 2: выберите случайный путь.Теперь мы можем отбросить веса на ребрах в и выбрать случайный путь от s до t в $S$$s$$t$$S$ .

Чтобы помочь с этим, мы сделаем предварительное вычисление для вычисления для каждой вершины v в S , где $n(v)$$v$$S$ подсчитывает количество различных путей от v до t . Это предварительное вычисление может быть выполнено за линейное время путем сканирования вершин S в топологически отсортированном порядке, используя следующее рекуррентное соотношение:$n(v)$$v$$t$$S$

где обозначает преемников v , т. е. succ ( v ) = { w : v → $\text{succ}(v)$$v$ , и где мы имеем базовый случай n ( t ) = $\text{succ}(v) = \{w : v \to w \text{ is an edge in $S$}\}$$n(t)=1$ .

Далее мы используем аннотацию для выборки случайного пути. Мы первый визит узел $n(\cdot)$$s$ . Затем мы случайным образом выбираем одного из преемников с преемником w, взвешенным по n ( w ) . Другими словами:$s$$w$$n(w)$

choosesuccessor(v):
    n = 0
    for each w in succ(w):
        n = n + n(w)
    r = a random integer between 0 and n-1
    n = 0
    for each w in succ(w):
        n = n + n(w)
        if r < n:
            return w

Чтобы выбрать случайный путь, мы многократно повторяем этот процесс: т.е. и v i + 1$v_0=s$$v_{i+1} =$ choosesuccessor . Результирующий путь является желаемым путем, и он будет случайным образом выбран из всех кратчайших путей от s до$(v_i)$$s$$t$ .

Надеюсь, это поможет вам легче понять решение Realz Slaw. Вся благодарность Realz Slaw за красивое и чистое решение этой проблемы!

Единственный случай, который не обрабатывается, это случай, когда некоторые ребра имеют вес 0 или отрицательный вес. Тем не менее, в этом случае проблема может быть недостаточно четко определена, поскольку вы можете иметь бесконечно много кратчайших путей.