Кратчайший непересекающийся путь для графа, вложенного в евклидову плоскость (2D)

Какой алгоритм вы бы использовали, чтобы найти кратчайший путь графа, который вложен в евклидову плоскость, чтобы путь не содержал каких-либо самопересечений (во вложении)?

Например, на графике ниже вы хотите перейти от . Обычно такой алгоритм, как алгоритм Дейкстры, выдает такую последовательность: $(0,0) \rightarrow (-3,2)$

[(0, 0) \overset{3}{\to} (0, 3) \overset{\sqrt{2}}{\to} (1, 2) \overset{4}{\to} (- 3, 2)] = 7 + \sqrt{2} .

$\left[ (0,0) \stackrel {3}{\rightarrow} (0,3) \stackrel{\sqrt{2}}{\rightarrow} (1,2) \stackrel{4}{\rightarrow} (-3,2) \right] = 7+\sqrt{2}.$

Полный график:

введите описание изображения здесь

Кратчайший путь:

введите описание изображения здесь

Кратчайший непересекающийся путь:

введите описание изображения здесь

Однако этот путь пересекается на евклидовой плоскости, поэтому я хочу алгоритм, который дал бы мне самую короткую непересекающуюся последовательность, в этом случае:

[(0, 0) \overset{3}{\to} (0, 3) \overset{3}{\to} (0, 6) \overset{5}{\to} (- 3, 2)] = 11.

$\left[(0,0) \stackrel{3}{\rightarrow} (0,3) \stackrel{3}{\rightarrow} (0,6) \stackrel{5}{\rightarrow} (-3,2) \right] = 11.$

Этот путь длиннее самого короткого пути, но это самый короткий непересекающийся путь.

Есть ли (эффективный) алгоритм, который может это сделать?

Источники TikZ

— Реал Слав
источник

Хорошая проблема! (+1). Можете ли вы сказать что-нибудь о приложении или контексте, где возникает эта проблема? Я заинтригован. (PS На отдельном примечании: очевидный выход из этой загадки - посмотреть, можете ли вы ввести новую вершину для каждой точки пересечения, т. Е. Для каждой точки, где одно ребро может пересекать другое ребро. Однако я понимаю, что для некоторых / многих приложений это может быть невозможно.)

— DW

@DW это я переформулирую проблему злобного осла / пони Бабибу ; приложение - его эвристический алгоритм эвристического TSP, я не совсем уверен, как он намеревается его использовать, но я предполагаю, что он хочет знать, может ли он найти путь между двумя точками, когда он уже посетил несколько других (оптимальный тур по евклидовому TSP будет быть непересекающимися). И да, если вы можете ввести новые узлы, это было бы замечательно, но вопрос в том, можете ли вы это сделать (и, конечно, вы не можете ввести новые города для евклидовой TSP).

— Реал Слав

Позвольте мне попытаться преобразовать проблему существования пути в 3SAT. Создание способа пересечь два сигнала, не пересекая два пути, кажется самой большой проблемой.

— Джон Дворак

Ага. Я имел в виду решение SAT через это.

— Джон Дворак

n

$n$

Ответы:

Это NP-полный, чтобы даже решить, существует ли какой-либо путь.

Очевидно, что любой указанный путь является допустимым путем в данном графе. Таким образом, задача с ограниченной длиной находится в NP, как и ее подмножество, задача произвольного пути.

Теперь, чтобы доказать NP-трудность проблемы произвольного пути (и, следовательно, проблемы ограниченной длины), давайте сведем SAT-CNF к этой проблеме:

Глобальная структура - это сетка кусочков проволоки, к которой примыкает столбец кусочков предложения. Логическая формула выполнима тогда и только тогда, когда существует непересекающийся путь через граф.

Невозможно пересечь две части пути, но необходимо пересечь два логических провода. Скорее, путь прохождения строго задан: точка соединения задается двумя узлами. Последовательность точек проводов, через которые проходит путь, вызвана сокращением. Логика представлена тем, какой узел выбран. Любой путь можно выбрать, если он проходит через все точки проводов.

На этой диаграмме путь представлен красной кривой, а логический поток представлен черными проводами:

сетка проводов слева, столбец кусочков пункта справа.

Теперь давайте создадим каждый компонент.

В проводке используются три элемента: пересечение, точка разветвления и вертикальный провод. Давайте начнем с самого сложного:

Основная идея, лежащая в основе пересечения, состоит в том, чтобы подготовить путь для каждой пары точек проводов и изогнуть возможные пути так, чтобы все пары, кроме тех, которые кодируют одну и ту же логику (совместимые пути), пересекались друг с другом. Конечно, мы не можем просто сказать, что два параллельных ребра пересекаются, но мы можем ввести дополнительные узлы порядка 2, чтобы два пути пересекались.

Предположим, что пути идут с севера на запад и с юга на восток, мы можем: собрать каждую линию с севера с ее совместимым путем с востока на линию (некоторые несовместимые пути будут пересекаться друг с другом); скрестите каждую пару друг с другом, изменив порядок пар; распределите пути к их южным и западным конечным точкам. Это лучше всего объяснить диаграммой. Здесь каждая пара узлов представляет точку соединения. Пути с одинаковым цветовым кодом (несущие одинаковую логику) не пересекаются, пути с другим цветовым кодом:

графическое изображение вышеперечисленного

Точка ветвления и вертикальный провод работают одинаково, но существует меньше путей для корреляции:

здесь достаточно двух пар путей. Провод по сути является точкой ветвления с разрушенной ветвью

$\neg A \vee \neg B$

введите описание изображения здесь

Это обобщение можно обобщить для кодирования произвольного дерева вентилей AND и OR, разветвляя провод чтения другим способом. В частности, как SAT-CNF, так и SAT-DNF могут быть сведены к проблеме непересекающихся путей способом, описанным выше.

— Джон дворак
источник

Вау, молодец человек. Я еще не рассмотрел его, но работа, которую вы проделали, поразительна.

— Реал Слав

Хорошо, я просто хочу обобщить свое понимание: используя первый гаджет, можно пересечь любые две пары буквальных путей и сохранить используемые пути. Следовательно, не нужно беспокоиться о планарности для разметки путей (как это делает гаджет xor в PlanarCircuitSat для цепей). Затем, используя последний гаджет, можно создавать произвольные логические предложения (больше не нужно беспокоиться о планарности). Это верно?

— Реал Слав

Это кажется правильным, но вы должны обеспечить две вещи для общего макета: что вы можете включить все гаджеты с помощью пути NIP (это всегда должно быть возможно - если путь застревает в центре, вы можете ввести проводные гаджеты, чтобы свести одиночные концы пути вместе) и что все пути в считывающем проводе пересекаются друг с другом таким образом, что невозможно повернуть внутри провода (мне кажется, что это гарантировано, если нет истинных предложений ( не пересекается ни с одним литералом) и если все предложения находятся на внешней стороне схемы (на одной стороне начало и конец)).

— Джон Дворжак

убедиться, что все пути в проводе считывания пересекаются друг с другом, легко - если вы хотите быть уверенным, просто разветвите n путей, а затем сразу же пересечь все. Я думаю, что это никогда не является необходимым, однако.

— Джон Дворжак

Я использовал OpenOffice Draw для глобальной структуры и [yEd] (www.yworks.com/products/yed) для остальных. Должен ли я изменить это в (с <sub>)?

— Джон Дворак

-1

проблема, кажется, датирована Тураном в 1944 году. Это похоже на хороший обзор теории и алгоритмов, «Пересекающееся число графов: теория и вычисления», выполненные Мутцелем. Википедия имеет некоторую информацию при пересечении количества графиков

— ВЗН
источник

Может быть, это лучше в качестве комментария?

— Юхо

он с научной точки зрения отвечает на основной вопрос «какой алгоритм вы бы использовали»

— vzn

Хотя это может теоретически ответить на вопрос, было бы предпочтительным включить сюда основные части ответа и предоставить ссылку для справки.

— Джон Дворжак

Ян ссылается на ссылку из стека обмена мета. в то время как это верная идея, роль цитирования в науке / математике отличается от сайта с советами по программированию .... [по общему признанию, ссылка для меня не доступна в настоящее время для более подробного ответа] .. в любом случае, вполне возможно, что-то вроде Конструкция Янса, хотя и полезна / полезна, уже есть в литературе и в науке, она является частью стандартного процесса / лучших практик, чтобы [попытаться] найти его ....

— vzn