Каков наиболее эффективный способ вычисления факториалов по модулю простого числа?

Знаете ли вы какой-либо алгоритм, который эффективно рассчитывает факториал после модуля?

Например, я хочу запрограммировать:

for(i=0; i<5; i++)
  sum += factorial(p-i) % p;

Но pэто большое число (простое число) для непосредственного применения факториала .$(p \leq 10^ 8)$

В Python эта задача действительно проста, но я действительно хочу знать, как оптимизировать.

(Этот ответ был первоначально опубликован в вопросе аскером jonaprieto .)

Я помню теорему Вильсона и заметил мелочи:

В приведенной выше программе лучше написать:

$$\begin{align} (p-1)! &\equiv -1 &\pmod p\\ (p-2)! &\equiv (p-1)! (p-1)^ {-1} \equiv \bf{1} &\pmod p\\ (p-3)! &\equiv (p-2)! (p-2)^ {-1} \equiv \bf{(p-2)^{-1}} &\pmod p\\ (p-4)! &\equiv (p-3)! (p-3)^ {-1} \equiv \bf{(p-2)^{-1}} \bf{(p-3)^{-1}} &\pmod p\\ \ (p-5)! &\equiv (p-4)! (p-4)^ {-1} \equiv \bf{(p-2)^{-1}} \bf{(p-3)^{-1}}\bf{(p-4)^{-1}} &\pmod p\\ \end{align}$$

И вы можете найти потому что , поэтому с помощью расширенного евклидова алгоритма вы можете найти значение , то есть обратный модуль. НОД ( р , р - я ) = 1 ( р - я ) - $(p-i)^{-1}$$\operatorname{gcd}(p, p-i) = 1$$(p-i)^{-1}$

Вы также можете просмотреть те же конгруэнции, например: поэтому сумма равна: и если вы сначала факторизуете факториалы, вы получите И, вуаля, обратный модуль более эффективен, чем факториалы. (-24)-1+(6)-1+(-2)-18⋅(-24)-

$$\begin{align*} (p-5)! &\equiv (p-24)^{-1}&\pmod p\\ (p-4)! &\equiv (p+6)^{-1}&\pmod p\\ (p-3)! &\equiv (p-2)^{-1} &\pmod p\\ (p-2)! &\equiv 1&\pmod p\\ (p-1)! &\equiv -1&\pmod p\\ \end{align*}$$ $$(-24)^{-1}+(6)^{-1} +(-2)^{-1}$$ $$8\cdot (-24)^{-1} \pmod p$$

Пример, который вы публикуете, очень тесно связан с проблемой Эйлера # 381. Поэтому я опубликую ответ, который не решит проблему Эйлера. Я опубликую, как вы можете вычислить факториалы по модулю простого числа.

Итак: Как рассчитать! по модулю р?

Быстрое наблюдение: если n ≥ p, то n! имеет фактор р, поэтому результат равен 0. Очень быстро. И если мы игнорируем требование, что p должно быть простым, то пусть q будет наименьшим простым фактором p, и n! по модулю p равно 0, если n ≥ q. Также нет особых причин требовать, чтобы p было простым, чтобы ответить на ваш вопрос.

Теперь в вашем примере (п - я)! для 1 ≤ я ≤ 5 подошел. Вам не нужно вычислять пять факториалов: Вы вычисляете (n - 5) !, умножаете на (n - 4), идете, получаете (n - 4) !, умножаете на (n - 3), чтобы получить (n - 3)! и т.д. Это сокращает работу почти в 5 раз. Не решайте проблему буквально.

Вопрос в том, как рассчитать n! по модулю м. Очевидным способом является вычисление n !, числа с примерно n log n десятичными цифрами, и вычисление остатка по модулю p. Это тяжелая работа. Вопрос: Как мы можем получить этот результат быстрее? Не делая очевидных вещей.

Мы знаем, что ((a * b * c) по модулю p = (((a * b) по модулю p) * c) по модулю p.

Чтобы вычислить n !, мы обычно начинаем с x = 1, затем умножаем x на 1, 2, 3, ... n. Используя формулу по модулю, мы вычисляем n! по модулю p без вычисления n !, начиная с x = 1, а затем для i = 1, 2, 3, .., n мы заменяем x на (x * i) по модулю p.

У нас всегда есть x <p и i <n, поэтому нам нужна только достаточная точность для вычисления x * p, а не гораздо более высокая точность для вычисления n !. Так что посчитать! По модулю p для p ≥ 2 предпринимаем следующие шаги:

Step 1: Find the smallest prime factor q of p. If n ≥ q then the result is 0.
Step 2: Let x = 1, then for 1 ≤ i ≤ n replace x with (x * i) modulo p, and x is the result. 

(В некоторых ответах упоминается теорема Уилсона, которая отвечает на вопрос только в очень особом случае из приведенного примера и очень полезна для решения проблемы Эйлера # 381, но в целом бесполезна для решения поставленного вопроса).

Это моя реализация использования теоремы Вильсона:

Функция factMOD вызывается для вычисления (n!)% MOD, когда MOD-n мало против n.

Кто-нибудь знает другой эффективный подход, когда это не так (например, n = 1e6 и MOD = 1e9 + 7)?

ll powmod(ll a, ll b){//a^b % MOD
  ll x=1,y=a;
  while(b){
    if(b&1){
      x*=y; if(x>=MOD)x%=MOD;
    }
    y*=y; if(y>=MOD)y%=MOD;
    b>>=1;
  }
  return x;
} 
ll InverseEuler(ll n){//modular inverse of n
  return powmod(n,MOD-2);
}
ll factMOD(ll n){ //n! % MOD efficient when MOD-n<n
   ll res=1,i;
   for(i=1; i<MOD-n; i++){
     res*=i;
     if(res>=MOD)res%=MOD;
   }
   res=InverseEuler(res);   
    if(!(n&1))
      res= -res +MOD;
  }
  return res%MOD;
}