Алгоритм преследования движущейся цели

Предположим, что у нас есть черный ящик который мы можем запросить и сбросить. Когда мы сбрасываем , состояние для устанавливается произвольно выбранному элементу из набора где фиксировано и известно для данного . Для запроса предоставляется элемент (предположение) из , а возвращаемое значение равно . Кроме того, состояние для устанавливается равным значению , где выбирается случайным образом из $f$ $f$ $f_S$ $f$

{0, 1, . . ., n - 1}

$\{0, 1, ..., n - 1\}$

n

$n$

f

$f$

f

$f$

x

$x$

{0, 1, . . ., n - 1}

$\{0, 1, ..., n - 1\}$

(f_{S} - x) \mod n

$(f_S - x) \mod n$

f_{S}

$f_S$

f

$f$

f_{S}^{'} = f_{S} \pm k

$f_S' = f_S \pm k$

k

$k$

{0, 1, 2,,,,, ⌊ N / 2 ⌋ - ((е_{S} - Икс) модификация N)}

$\{0, 1, 2, ..., \lfloor n/2 \rfloor - ((f_S - x) \mod n)\}$

Делая равномерно случайные догадки с каждым запросом, можно было бы ожидать сделать $n$ догадок, прежде чем получить $f_S = x$ с дисперсией $n^2 - n$ (заявлено без доказательства).

Может ли алгоритм быть спроектирован так, чтобы он работал лучше (т. Е. Создавал меньше догадок, возможно, с меньшим разбросом в количестве догадок)? Насколько лучше это сделать (т. Е. Каков оптимальный алгоритм и какова его производительность)?

Эффективное решение этой проблемы может иметь важные последствия для экономии при стрельбе по кролику (ограниченному прыжками по круговой дорожке) в темной комнате.

algorithms probability-theory randomized-algorithms

— Patrick87
источник

Я не уверен, является ли отстрел кроликов информатикой.

— Дейв Кларк

@DaveClarke Но если вы можете стрелять в кроликов, вы решили проблему остановки для кроликов.

— Patrick87

@DaveClarke Никто не снимает спутники в космос, но вычисление положения спутника таково. Этот вопрос мало чем отличается от криптоанализа.

— Жиль "ТАК - перестань быть злым"

Прежде всего, я предполагаю, что

Кроме того, состояние для устанавливается равным значению , где выбирается случайным образом равномерно из $f_S$ $f$ $f_S' = f_S \pm k$ $k$
${0, 1, 2,,,,, ⌊ N / 2 ⌋ - ((е_{S} - Икс) модификация N)}$ $\{0, 1, 2, ..., \lfloor n/2 \rfloor - ((f_S - x) \mod n)\}$

вы на самом деле имеете в виду

Кроме того, состояние для устанавливается равным значению , где выбирается случайным образом из $f_S$ $f$ $f_S' = f_S + k \mod n$ $k$
${- | ⌊ \frac{N}{2} ⌋ - ((е_{S} - Икс) модификация N) |, ..., - 1, 0, 1, 2, ..., | ⌊ \frac{N}{2} ⌋ - ((е_{S} - Икс) модификация N) |}$ $\left\{- \left| \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor - ((f_S - x) \mod n) \right|, \ldots, -1, 0, 1, 2, \ldots, \left| \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor - ((f_S - x) \mod n) \right|\right\}$

В противном случае не совсем ясно, что всегда выполняется и как именно ведет себя. $f_S \in \{ 0, ..., n-1\}$ $f_S \pm k$

Используя это, проблема в основном сводится к тому, чтобы «пропустить как можно больше». Заметьте, что чем ближе мы стреляем в кролика, тем больше хмеля он делает; в крайнем случае мы имеем . Это приводит к равномерному переходу между и , что в основном снова полностью рандомизирует положение кролика. С другой стороны, если мы пропустим настолько сильно, насколько это возможно - из-за смещения , кролик фактически не двигается вообще (!), И черный ящик фактически обновляет нас на этот факт. Поэтому мы можем просто развернуться и пристрелить кролика. $f_S - x = \pm 1 \mod n$ $-(\lfloor n/2 \rfloor \pm 1)$ $(\lfloor n/2 \rfloor \pm 1)$ $f_S - x \mod n = \lfloor n/2 \rfloor$

Нам остается найти процедуру пропуска в каждом кадре. Я предлагаю простой «бинарный поиск». (Я удобно опущу округление.) Это происходит примерно следующим образом:

Сброс и стрельба в произвольном положении, пока вы не получите из черного ящика ответЭто требует постоянного количества шагов в ожидании. $(f_S - x \mod n) \in \{ \frac{1}{4}n, ..., \frac{3}{4}n\}.$
Теперь мы знаем, что кролик в прошлом положении и что он не двигался более чем на шагов в любом направлении. Это в основном вдвое уменьшает наше пространство поиска на следующей итерации, поскольку кролик должен находиться в позиции $f_S$ $\frac{1}{4}n$ $f_S' \in \{ (f_S - \frac{1}{4}n) \mod n, ..., f_S, ..., (f_S + \frac{1}{4}n) \mod n \}$
Recurse: стрелять в позиции . С вероятностью позиция на которую кролик прыгнул на 1 и 2, лежит в диапазоне . В этом случае мы вдвое сократили пространство поиска. С вероятностью , кролик не прыгнул в этом диапазоне, но так как мы знаем, что , у нас есть те же предположения, что и на шаге (2) и поэтому ничего не теряешь. $f_S - n/2 \mod n$ $1/2$ $f_S'$ $\{ f_S - \frac{1}{8}n, ..., f_S, ..., f_S + \frac{1}{8}n \}$ $1/2$ $f_S' - x \mod n = f_S' - f_S + n/2 \mod n \in \{ \frac{1}{2}n - \frac{1}{4}n, ..., \frac{1}{2}n + \frac{1}{4}n \}$

Каждый шаг требует ожидаемого времени для успешного завершения и делит пополам пространство поиска, что дает общее ожидаемое количество шагов. $2 = \mathcal{O}(1)$ $\mathcal{O}(\log n)$

— HDM
источник