Кодирование ограничения 1 из n для решателей SAT

Я использую решатель SAT для кодирования проблемы, и как часть экземпляра SAT, у меня есть логические переменные $x_1,x_2,\dots,x_n$ где предполагается, что именно одна из них должна быть истинной, а остальные должны быть ложным (Я иногда видел, что это описывается как «горячая» кодировка.)

Я хочу закодировать ограничение «ровно один из $x_1,\dots,x_n$ должно быть истинным» в SAT. Каков наилучший способ кодирования этого ограничения, чтобы заставить SAT-решатель работать максимально эффективно?

Я вижу много способов кодировать это ограничение:

• Парные ограничения. Я мог бы добавить попарно ограничений для всех I , J , чтобы гарантировать , что не более одного х я верно, а затем добавить х 1 ∨ х 2 ∨ ⋯ ∨ х п , чтобы гарантировать , что по крайней мере один истинно.$\neg x_i \lor \neg x_j$$i,j$$x_i$$x_1 \lor x_2 \lor \cdots \lor x_n$

  Это добавляет предложений и никаких дополнительных логических переменных.$\Theta(n^2)$

• Бинарное кодирование. Я мог бы ввести новых логических переменных i 1 , i 2 , … , i lg n, чтобы представить (в двоичном виде) целое число i, такое что 1 ≤ i ≤ n (добавив несколько логических ограничений, чтобы убедиться, что i находится в желаемом диапазоне ). Затем я могу добавить ограничения, обеспечивающие, чтобы x i было деревом, а все остальные x j были ложными. Другими словами, для каждого j мы добавляем предложения, гарантирующие, что i = $\lg n$$i_1,i_2,\dots,i_{\lg n}$$i$$1 \le i \le n$$i$$x_i$$x_j$$j$ .$i=j \Leftrightarrow x_j$

  Это добавляет предложений, и я не знаю, сколько дополнительных булевых переменных.$\Theta(n \lg n)$

• Подсчитайте количество истинных значений. Я мог бы реализовать дерево логических схем сумматора и потребовать, чтобы , рассматривая каждый x i как 0 или 1 вместо false или true, и использовать преобразование Цейтина для преобразования схемы в SAT статьи. Достаточно дерева половинных сумматоров: ограничьте выходной результат переноса каждого половинного сумматора равным 0, и ограничьте конечный выход конечного полумесяца в дереве равным 1. Дерево может быть выбрано, чтобы иметь любую форму ( сбалансированное бинарное дерево, или несбалансированное, или что угодно).$x_1+x_2+\dots+x_n=1$$x_i$

  Это можно сделать в элементах и, таким образом, добавить Θ ( n ) предложений и Θ ( n ) новых логических переменных.$\Theta(n)$$\Theta(n)$$\Theta(n)$

  Особый случай такого подхода состоит в том, чтобы ввести логические переменные , с идеей , что у меня должно содержать значение х 1 ∨ х 2 ∨ ⋯ ∨ х I . Это намерение может быть обеспечено путем добавления положения у я ∨ ¬ х я , у я ∨ ¬ у я - 1 , а ¬ у я ∨ х я ∨ у я $y_1,\dots,y_n$$y_i$$x_1 \lor x_2 \lor \cdots \lor x_i$$y_i \lor \neg x_i$$y_i \lor \neg y_{i-1}$ (где мы рассматриваем y 0 как синоним false) дляi=1,…,n. Далее мы можем добавить ограничения¬ y i ∨¬ x i + 1 дляi=1,2,…,n-1. Это в основном эквивалентно преобразованию Цейтина дерева полусумметра, где дерево имеет максимально несбалансированную форму.$\neg y_i \lor x_i \lor y_{i-1}$$y_0$$i=1,\dots,n$$\neg y_i \lor \neg x_{i+1}$$i=1,2,\dots,n-1$

• Сеть бабочек. Я мог бы построить сеть бабочки на биты, ограничивает п ввод -разрядного , чтобы быть 000 ⋯ 01 , ограничивает п выход -разрядного быть х 1 х - ⋯ х п , и рассматривать каждые 2-битовые бабочки ворот в качестве независимого ворот это либо меняет, либо не меняет входные данные с решением, которое делать на основе новой новой логической переменной, которая оставлена ​​неограниченной. Затем я могу применить преобразование Цейтина для преобразования схемы в предложения SAT.$n$$n$$000\cdots 01$$n$$x_1 x_2 \cdots x_n$

  Это требует вентилей и, таким образом, добавляет Θ ( n lg n ) предложений и Θ ( n lg n ) новых логических переменных.$\Theta(n \lg n)$$\Theta(n \lg n)$$\Theta(n \lg n)$

Есть ли другие методы, которые я пропустил? Какой я должен использовать? Кто-нибудь проверял это или пробовал их экспериментально, или у кого-нибудь есть опыт работы с любым из них? Является ли количество предложений и / или количество новых логических переменных хорошей метрикой для оценки влияния этого на производительность решателя SAT или, если нет, какую метрику вы бы использовали?

Я только что заметил, что в этом ответе есть некоторые ссылки на принудительное ограничение кардинальности для SAT, т. Е. Навязывание ограничения, согласно которому ровно из n переменных являются истинными. Итак, мой вопрос сводится к особому случаю, когда k = 1 . Возможно, литература по ограничениям мощности поможет пролить свет на мой вопрос.$k$$n$$k=1$

Для особого случая k из n переменных true, где k = 1, существует кодирование переменной-коммандера, как описано в разделе Эффективное кодирование CNF для выбора объектов от 1 до N , авторы Klieber и Kwon. Упрощенно: разделите переменные на небольшие группы и добавьте предложения, которые приводят к тому, что состояние переменной commander подразумевает, что группа переменных является либо ложной, либо ложной. Затем рекурсивно примените тот же алгоритм к переменным коммандера. В конце процесса потребуйте, чтобы точно одна из нескольких переменных окончательного коммандера была истинной. Результатом является O (n) новых предложений и O (n) новых переменных.

Учитывая повсеместность литералов с двумя наблюдениями в решателях на основе DPLL, я думаю, что рост предложения O (n) является решающим преимуществом по сравнению со схемами кодирования, которые добавили бы больше предложений.

В статье Магнуса Бьёрка описаны две техники, которые стоит попробовать.

$n$$x_1,\dots,x_n$$y_1,\dots,y_b$$b = \lg n$$(x_1 \lor \dots \lor x_n)$$2 \lg n$$x_i \implies \neg y_j$$x_i \implies y_j$$j$$i$

$k$$n$$x_1,\dots,x_n$ чтобы получить отсортированный вывод $y_1,\dots,y_n$, а затем добавить пункт, требующий, чтобы $y_k$ это правда и $y_{k+1}$ложно Существует ряд простых сетей сортировки, которые нуждаются только в$O(n \lg^2 n)$компаратор единиц. Поэтому мы получаем кодировку, которая использует$O(n \lg^2 n)$ пункты и временные переменные.

Бумага

Магнус Бьорк. Успешные методы кодирования SAT . 25 июля 2009 г.

В следующей статье приведен подробный список кодировок для 1 из$n$ а также $k$-снаружи-$n$с некоторой экспериментальной оценкой каждого из них. Выводы не совсем ясны (кодировка команд в своих экспериментах выглядит довольно неплохо).

Алан М. Фриш, Пол А. Джаннарос. SAT Кодировки ограничения At-Most-k: некоторые старые, некоторые новые, некоторые быстрые, некоторые медленные . ModRef 2010.