Как доказать, что проблема НЕ является NP-Complete?


17

Есть ли какой-нибудь общий метод доказательства проблемы, НЕ являющейся NP-Complete?

Я получил этот вопрос на экзамене, который попросил меня показать, является ли какая-то проблема (см. Ниже) NP-Complete. Я не мог придумать никакого реального решения, и просто доказал, что это было в P. Очевидно, что это не настоящий ответ.

NP-Complete определяется как набор задач, которые есть в NP, и все проблемы NP могут быть сведены к нему. Поэтому любое доказательство должно противоречить хотя бы одному из этих двух условий. Эта конкретная проблема, действительно, в P (и, следовательно, в NP). Так что я застрял с доказательством того, что в NP есть проблема, которую нельзя сводить к этой проблеме. Как на земле это может быть доказано ??

Вот конкретная проблема, которую мне дали на экзамене:

Пусть DNF - множество строк в дизъюнктивной нормальной форме . Пусть будет языком строк из которые могут быть некоторым назначением переменных. Показать, есть ли в NP-Complete.Д Н Р Д Н Р С ТDNFSATDNFDNFSAT


8
Если можно было бы доказать, что DNF-SAT не является NP-полным, это немедленно подразумевает, что , как вы показали. Таким образом, я полагаю, что ответ, который они искали, - это именно то, что вы дали (и вы, вероятно, должны были предположить, что P N P ). Тем не менее, это очень вводящий в заблуждение вопрос. пNппNп
Шалл

Вы правы, поэтому я понимаю, что эта проблема эквивалентна проблеме и решение одного также решает другое. пзнак равноNп
Без названия

Почему вы говорите о доказательстве того, что DNFSAT находится в P, что «очевидно, это не настоящий ответ»?
Андрас Саламон

5
@ AndrásSalamon Предполагается, что , что является недоказанным утверждением. PNP
Без названия

1
@ Без названия: это фактически не предполагает P P NP, см. Мой ответ.
Андрас Саламон

Ответы:


8

Основываясь на комментариях, вы, кажется, хотите безусловный ответ.

Однако DNF-SAT находится в L, назначая переменные для удовлетворения первого дизъюнкта. Следовательно, если он NP-полон, то L = NP.

С другой стороны, если L = NP, то DNF-SAT является NP-полным при сокращении пространства журналов, тривиально. (На самом деле, если L = NP, то каждая проблема в NP является NP-полной при сокращении пространства журналов.)

Отсюда следует, что L = NP, если DNF-SAT является NP-полным при сокращении пространства журнала.

Таким образом, в настоящее время вы не можете сделать безоговорочное заявление о том, что DNF-SAT не является NP-завершенным, как вы, кажется, хотите сделать. Нет необходимости предполагать, что P ≠ NP, но ответ должен быть обусловлен чем-то, а L ≠ NP является самой слабой возможной гипотезой, которая гарантирует желаемый результат.


Интересный. Таким образом , эта проблема эквивалентна задаче . Не могли бы вы объяснить, почему вы говорите, что L N P - слабое предположение? L=NP=P=NPCLNP
без названия

3
Если то ψ слабее, чем ϕ . ϕψψϕ
Андрас Саламон

14

Проблема является NP-полной , если она является как NP- трудно и в НП. Это означает, что вам нужно опровергнуть одно из этих двух.Q

  1. В предположении , что P NP, вы можете дать полиномиальное время алгоритма решения Q . В более редких случаях, предполагая, что изоморфизм графов не является NP-сложным, вы можете показать, что Q разложимо по времени от изоморфизма графов.QQ
  2. Вы показываете, что не в NP. Это сложнее, и вы обычно должны использовать другие допущения, такие как неразрушаемая полиномиальная иерархия, что NP coNP или показать, что это трудно для какого-то другого класса выше, чем NP, например, показывая, что это NEXPTIME-трудно.Q

Обычно ответ состоит в том, чтобы дать алгоритм полиномиального времени, который был бы самым простым для DNF-SAT, но это основано на гипотезе, что P NP. Однако доказательство того, что DNF-SAT не является NP-полным без каких-либо предположений, подразумевает, как указывает Шоул, доказательство того, что P NP, так что это несколько сложнее.


1
Обе техники, которые вы предоставили, основаны на недоказанном предположении. Думаете ли вы, что может быть конкретный способ (без предположений) решения проблемы такого рода?
Без названия

О, и я не имел в виду эту конкретную проблему, потому что, как заявил Шолл, эта проблема все еще остается открытой. Я имел в виду доказательство полной комплектации.
Без названия

2
@ Без названия Вы, вероятно, не имели в виду coNP-полноту. Один из способов показать это - мой пункт (2), доказывающий, что проблема СРОЧНАЯ. Мы знаем, что NP NEXPTIME, так что это докажет. Доказательство того, что проблема Q является СРОЧНОЙ, будет означать, что Q не может быть в NP и, следовательно, не может быть NP-завершенным. QQ
Пол GD

10

По недетерминированной иерархии времени, вы могли бы показать , что проблема -Жесткая; так как N PN E X P , невозможно свести задачу за полиномиальное время к любой проблеме в N P , поэтому проблема не будет в NNEXPNPNEXPNP .NP

Однако, если ваша проблема не так уж и сложна, вам может быть трудно доказать, что ее нет в ; и если в N P , вы будете трудно нажиму , чтобы показать , что N P не Karp-сводимы к вашей проблеме , не предполагая , что PN P .NP NPNPPNP


0

Как и в случае со всеми доказательствами, здесь нет формулы для доказательства утверждения, вы должны сделать некоторые умные догадки, проб и ошибок, и, надеюсь, вы сможете доказать то, что вы пытаетесь доказать. Чтобы доказать, что проблема НЕ является NP-полной, отмените определение (закон Деморграна), то есть докажите, что проблема НЕ в NP, или докажите, что проблема не NP-Hard.


0

Я полагаю, что лектор действительно хочет, чтобы вы могли отличить проблемы, которые находятся в P, от задач, которые являются NP-полными по смыслу данного языка. Можете ли вы построить эффективный алгоритм? если да, то предполагается, что она не является NP-полной, потому что мы не думаем, что языки в P являются NP-полной! иначе вам все равно придется доказать, что проблема NP-трудная!

обратите внимание, что существуют некоторые проблемы, о которых мы не знаем их состояния, такие как изоморфизм графов, факторизация заданного числа, ... мы думаем, что эти проблемы не являются NP-полными, но никто не мог доказать это! в частности, у нас есть доказательства того, что изоморфизм графов не является NP-полным! Другая проблема - уникальная игровая конъюнктура, которая, как мы подозреваем, уникальна для NP-завершения, но никаких доказательств не существует! поэтому подход, который вы описали, бесполезен!

Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.