Как доказать, что проблема НЕ является NP-Complete?

Есть ли какой-нибудь общий метод доказательства проблемы, НЕ являющейся NP-Complete?

Я получил этот вопрос на экзамене, который попросил меня показать, является ли какая-то проблема (см. Ниже) NP-Complete. Я не мог придумать никакого реального решения, и просто доказал, что это было в P. Очевидно, что это не настоящий ответ.

NP-Complete определяется как набор задач, которые есть в NP, и все проблемы NP могут быть сведены к нему. Поэтому любое доказательство должно противоречить хотя бы одному из этих двух условий. Эта конкретная проблема, действительно, в P (и, следовательно, в NP). Так что я застрял с доказательством того, что в NP есть проблема, которую нельзя сводить к этой проблеме. Как на земле это может быть доказано ??

Вот конкретная проблема, которую мне дали на экзамене:

Пусть $DNF$ - множество строк в дизъюнктивной нормальной форме . Пусть будет языком строк из которые могут быть некоторым назначением переменных. Показать, есть ли в NP-Complete.Д Н Р Д Н Р С $DNFSAT$$DNF$$DNFSAT$

Основываясь на комментариях, вы, кажется, хотите безусловный ответ.

Однако DNF-SAT находится в L, назначая переменные для удовлетворения первого дизъюнкта. Следовательно, если он NP-полон, то L = NP.

С другой стороны, если L = NP, то DNF-SAT является NP-полным при сокращении пространства журналов, тривиально. (На самом деле, если L = NP, то каждая проблема в NP является NP-полной при сокращении пространства журналов.)

Отсюда следует, что L = NP, если DNF-SAT является NP-полным при сокращении пространства журнала.

Таким образом, в настоящее время вы не можете сделать безоговорочное заявление о том, что DNF-SAT не является NP-завершенным, как вы, кажется, хотите сделать. Нет необходимости предполагать, что P ≠ NP, но ответ должен быть обусловлен чем-то, а L ≠ NP является самой слабой возможной гипотезой, которая гарантирует желаемый результат.

Проблема является NP-полной , если она является как NP- трудно и в НП. Это означает, что вам нужно опровергнуть одно из этих двух.$Q$

1. В предположении , что P NP, вы можете дать полиномиальное время алгоритма решения Q . В более редких случаях, предполагая, что изоморфизм графов не является NP-сложным, вы можете показать, что Q разложимо по времени от изоморфизма графов.$\neq$$Q$$Q$
2. Вы показываете, что не в NP. Это сложнее, и вы обычно должны использовать другие допущения, такие как неразрушаемая полиномиальная иерархия, что NP ≠ coNP или показать, что это трудно для какого-то другого класса выше, чем NP, например, показывая, что это NEXPTIME-трудно.$Q$$\neq$

Обычно ответ состоит в том, чтобы дать алгоритм полиномиального времени, который был бы самым простым для DNF-SAT, но это основано на гипотезе, что P NP. Однако доказательство того, что DNF-SAT не является NP-полным без каких-либо предположений, подразумевает, как указывает Шоул, доказательство того, что P ≠ NP, так что это несколько сложнее.$\neq$$\neq$

По недетерминированной иерархии времени, вы могли бы показать , что проблема -Жесткая; так как N P ≠ N E X P , невозможно свести задачу за полиномиальное время к любой проблеме в N P , поэтому проблема не будет в $\mathsf {NEXP}$$\mathsf {NP} \ne \mathsf {NEXP}$$\mathsf {NP}$ .$\mathsf {NP}$

Однако, если ваша проблема не так уж и сложна, вам может быть трудно доказать, что ее нет в ; и если в N P , вы будете трудно нажиму , чтобы показать , что N P не Karp-сводимы к вашей проблеме , не предполагая , что P ≠ N P .$\mathsf {NP}$ $\mathsf {NP}$$\mathsf {NP}$$\mathsf P \ne \mathsf {NP}$

Как и в случае со всеми доказательствами, здесь нет формулы для доказательства утверждения, вы должны сделать некоторые умные догадки, проб и ошибок, и, надеюсь, вы сможете доказать то, что вы пытаетесь доказать. Чтобы доказать, что проблема НЕ является NP-полной, отмените определение (закон Деморграна), то есть докажите, что проблема НЕ в NP, или докажите, что проблема не NP-Hard.

Я полагаю, что лектор действительно хочет, чтобы вы могли отличить проблемы, которые находятся в P, от задач, которые являются NP-полными по смыслу данного языка. Можете ли вы построить эффективный алгоритм? если да, то предполагается, что она не является NP-полной, потому что мы не думаем, что языки в P являются NP-полной! иначе вам все равно придется доказать, что проблема NP-трудная!

обратите внимание, что существуют некоторые проблемы, о которых мы не знаем их состояния, такие как изоморфизм графов, факторизация заданного числа, ... мы думаем, что эти проблемы не являются NP-полными, но никто не мог доказать это! в частности, у нас есть доказательства того, что изоморфизм графов не является NP-полным! Другая проблема - уникальная игровая конъюнктура, которая, как мы подозреваем, уникальна для NP-завершения, но никаких доказательств не существует! поэтому подход, который вы описали, бесполезен!