График имеет два / три разных минимальных остовных дерева?

15

Я пытаюсь найти эффективный метод определения, имеет ли данный граф G два разных минимальных остовных дерева. Я также пытаюсь найти метод, чтобы проверить, есть ли у него 3 различных минимальных остовных дерева. Наивное решение, о котором я думаю, - запустить алгоритм Крускала один раз и найти общий вес минимального остовного дерева. Позже удаляем ребро из графа и снова запускаем алгоритм Крускала и проверяем, является ли вес нового дерева весом исходного минимального остовного дерева, и так для каждого ребра в графе. Время выполнения равно O (| V || E | log | V |), что совсем не хорошо, и я думаю, что есть лучший способ сделать это.

Любое предложение будет полезно, спасибо заранее

— Итамар
источник

Было бы неплохо быть осведомленным о таком алгоритме, но он не решит эту текущую проблему

— itamar

2

Граф будет иметь уникальное минимальное остовное дерево тогда и только тогда, когда (1) для любого разбиения на два подмножества, ребро минимального веса с одной конечной точкой в каждом подмножестве уникально, и (2) максимальный вес ребро в любом цикле группы уникально.

G

$G$

V (G)

$V(G)$

G

$G$

— Юхо

Эти вопросы один и два уже отвечают на ваш вопрос?

— Юхо

См. Проблему 23-1 в CLRS, чтобы узнать, как найти второй лучший MST в

.

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Каве

7

Kapoor & Ramesh ( правильная версия SIAM J. Comput. , Бесплатная (?) Версия личного веб-сайта ) предоставляют алгоритм для перечисления всех минимальных остовных деревьев как на взвешенных, так и на невзвешенных графиках.

Мое понимание основной идеи состоит в том, что вы начинаете с одного MST, а затем меняете ребра, которые лежат вдоль циклов на графике (поэтому, пока весовые коэффициенты в порядке, вы заменяете одно ребро другим, которое, как вы знаете, будет повторно соединять дерево) ,

Для взвешенного случая они дают время выполнения, чтобы перечислить все минимальные остовные деревья где - количество таких остовных деревьев. Он перечисляет их в порядке увеличения веса, и мое текущее (поверхностное) понимание предполагает, что вполне возможно завершить алгоритм после того, как он сгенерировал заданное количество деревьев (так как он только начинается с MST и производит их последовательно). $O(N\cdot|V|)$ $N$

— Люк Мэтисон
источник

В этой ситуации мы хотели бы прервать выполнение алгоритма как можно раньше, когда узнаем, что существует более

решений. Алгоритм учитывает это?

k

$k$

— Рафаэль

1

@ Рафаэль, у меня не было времени, чтобы действительно разобраться с этим (маркировка присвоения), но из моего грубого понимания, это должно быть возможно - оно начинается с некоторого MST, а затем генерирует другие по одному из него.

— Люк Мэтисон

1

@SaeedAmiri: «Количество таких охватывающих деревьев» означает «количество минимальных охватывающих деревьев», а не «количество охватывающих деревьев». Если все

остовных деревьев являются минимальными остовными деревьями, то входной граф завершен и все ребра имеют одинаковый вес.

n^{n - 2}

$n^{n-2}$

— Джефф

1

В статье рассматриваются как взвешенные, так и невзвешенные графики, так что вы оба правы;). Я также думаю, что алгоритм допускает возможность остановки после того, как вы сгенерировали желаемое количество деревьев, поэтому для OP это сводится к

. Опять же, мне нужно немного свободного времени, чтобы лучше выглядеть.

O (| V |)

$O(|V|)$

— Люк Мэтисон

1

После быстрого чтения взвешенный алгоритм генерирует деревья в порядке возрастания веса (очевидно, начиная с MST). Так и должно быть для целей ОП.

— Люк Мэтисон

2

Можно показать, что алгоритм Крускала может найти каждое минимальное остовное дерево; см здесь .

Следовательно, вы можете выполнить Kruskal и, когда у вас есть несколько ребер на выбор, переходить. После того как вы разветвились раз, вы знаете, что существует как минимум различных минимальных остовных деревьев. $k$ $k$ К сожалению, несколько ветвей могут привести к одному и тому же дереву, если добавить ребра одинакового веса в разных порядках, так что это мало поможет без дальнейшей работы / понимания.

— Рафаэль
источник

5

Нет. Если вам нужно выбрать между

ребрами за один шаг, возможно, эти

ребер есть во всех остовных деревьях. Возьмем, к примеру

звезду

со всеми ребрами веса 1. Первый шаг, нужно выбрать один из 5 ребер и т. Д. Но, очевидно, существует только одно остовное дерево. Возможно, помогает подсчет количества ребер с одинаковым весом для ребра, включенного в остовное дерево, которое не используется? Интересный вопрос ...

k

$k$

k

$k$

K_{1, 5}

$K_{1,5}$

— vonbrand

@vonbrand Хороший вопрос. Конечно, мы можем продолжить, чтобы завершить все ветви вычисления, но тогда время выполнения определяется числом связующих деревьев, которое может быть экспоненциальным.

— Рафаэль

1

Чтобы увидеть, существует ли более одного MST, рассмотрим, например, алгоритм Крускала. Единственный способ построить разные MST - это исключить ребра, выбрав другой, когда есть несколько с одинаковым весом. Но эти края одинакового веса могли быть исключены, потому что они образовали цикл с более светлыми краями ...

Таким образом, вы должны запустить алгоритм Крускала, и, когда нужно рассмотреть несколько ребер с одинаковым весом, добавьте все из них, которые можно добавить, не создавая циклы. Если остался край этого веса, и он не закрывает цикл ни с одним из ребер с меньшим весом (которые были добавлены ранее), существует более одного MST. Проверка, есть ли ровно 2 или 3 и более, выглядит намного сложнее ...

— vonbrand
источник

0

Модификация алгоритма Крускала: при упорядочении ребер кластеризуйте ребра с одинаковым весом. Теперь, в точке, где вы обрабатываете ребра по порядку, каждый раз, когда вы достигаете нового кластера, сначала проверяйте все ребра отдельно и удаляйте из кластера те, которые будут замыкать цикл, учитывая то, что было построено до кластера. Затем запустите все оставшиеся ребра в кластере, теперь пытаясь добавить их в MST. Если какой-либо из них закрывает цикл, то это было обязательно из-за того, что ранее были вставлены другие ребра того же кластера, что означает, что у вас более одного MST.

Это решение сохраняет сложность алгоритма Крускала, только увеличивает время обработки каждого ребра.

— Карлос А. Проло
источник

Кажется, вы утверждаете, что можете обрабатывать целый кластер за постоянное время, но я не вижу какой-либо очевидной константы, привязанной к размеру кластера. Не могли бы вы рассказать подробнее о том, как проходит этот этап?

— Дэвид Ричерби