ПОЛОВИНА КЛИК - NP Полная задача

Позвольте мне начать с замечания, что это домашняя проблема. Пожалуйста, предоставьте только рекомендации и соответствующие замечания, НИКАКИХ ПРЯМЫХ ОТВЕТОВ, пожалуйста . С учетом сказанного, вот проблема, на которую я смотрю:

Пусть HALF-CLIQUE = { | G является неориентированным графом, имеющим полный подграф с по крайней мере n / 2 узлами, где n - количество узлов в G }. Покажите, что ПОЛОВИНКА является NP-полной.$\langle G \rangle$$G$$n/2$$G$

Также я знаю следующее:

• В терминах этой проблемы клика определяется как неориентированный подграф входного графа, в котором каждые два узла соединены ребром. -clique$k$ является кликой , который содержит узлов.$k$
• По нашему учебнику, Майкл Сипзер в « Введение в теорию вычислений », стр 268, что проблема CLIQUE = { | G неориентированный граф с k- кликом} находится в NP$\langle G,k\rangle$$G$$k$
• Кроме того, согласно тому же источнику (на стр. 283), отмечает, что CLIQUE находится в NP-Complpete (таким образом, также очевидно, в NP).

Я думаю, что у меня есть ядро ​​ответа здесь, однако я мог бы использовать некоторые указания на то, что с ним не так, или любые связанные с этим вопросы, которые могут иметь отношение к ответу . Это общая идея, которую я имею до сих пор,

Хорошо, сначала я бы отметил, что сертификат будет просто ПОЛОВИННЫМ QLIQUE . Теперь кажется, что мне нужно было бы создать верификатор, который является полиномиальным сокращением времени с CLIQUE (мы знаем, что NP-Complete) до HALF-CLIQUE. Моя идея состояла бы в том, чтобы это было сделано путем создания машины Тьюринга, которая запускает верификатор машины Тьюринга в книге для CLIQUE с дополнительным ограничением для HALF-CLIQUE.$\text{size} \geq n/2$

Это звучит правильно для меня, но я пока не очень доверяю себе в этом вопросе. Еще раз, я хотел бы напомнить всем, что это ПРОБЛЕМА ДОМАШНЕГО РАБОТЫ, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не отвечать на вопрос. Любое руководство, которое не соответствует этому, будет приветствоваться!

Судя по вашему описанию и комментариям, вам лучше всего поможет точное описание того, как сокращения могут быть использованы для доказательства NP-полноты:

Проблема является NP-полной, если она находится в NP, и она NP-сложная. Это означает, что любое доказательство NP-полноты состоит из двух частей: доказательство того, что проблема лежит в NP, и доказательство того, что оно NP-сложно.

Для первой части вы должны показать, что экземпляры YES могут быть проверены за полиномиальное время с использованием некоторого подходящего сертификата. Кроме того, вы можете показать, что проблема может быть решена за полиномиальное время с помощью недетерминированной машины Тьюринга, но обычно это не делается, поскольку ошибки легко допускаются.

В вашем случае это сводится к доказательству того, что для каждого графа с -кликом вы можете найти какое-то доказательство того, что действительно есть такая клика, такая, что, вооружившись таким доказательством, вы можете проверить за полиномиальное время, что действительно есть такая клика.$n/2$

Во второй части вы должны показать, что проблема NP-сложная. Это почти во всех случаях доказывается тем, что ваша проблема, по крайней мере, так же сложна, как и некоторые другие проблемы NP-hard. Если HALF-CLIQUE такой же твердый, как CLIQUE, он также должен быть NP-hard.

Вы делаете это, доказывая сокращение ОТ КЛИК, ДО ПОЛОВИНЫ. Вы «уменьшаете» проблему, делая ее «проще». Вы говорите: «Решить CLIQUE сложно, но я доказал, что вам нужно решить только HALF-CLIQUE, чтобы решить CLIQUE». (многие люди, даже эксперты, иногда говорят, что это неправильно :))

Существуют различные типы сокращений: сокращение, которое наиболее часто используется, - это то, где вы отображаете экземпляры CLIQUE в этом случае на экземпляры HALF-CLIQUE, размер которых не более чем на полиномиально больше, за полиномиальное время. Это означает, что если мы можем решить ПОЛОВИНУ-КЛИК, то мы также можем решить КЛИК, связав алгоритм и редукцию.

Другими словами, мы должны показать, что мы можем решить CLIQUE, если мы можем решить HALF-CLIQUE. Мы делаем это, показывая, что для каждого экземпляра для CLIQUE мы можем спроектировать экземпляр HALF-CLIQUE таким образом, чтобы экземпляр CLIQUE был экземпляром 'yes', если экземпляр HALF-CLIQUE является экземпляром 'yes'.

$G=(V, E)$$H=(V', E')$$G$$k$$H$$n/2$

$\ge$

$G$$k$$H$$H$$G$$k$

Спойлер ниже содержит подсказку о том, как выполнить это сокращение:

$H$$G$

Вы можете уменьшить от проблемы покрытия вершины. Если граф дополнения данного графа имеет покрытие вершин меньше, чем n / 2 узлов, то этот граф будет иметь клику более чем n / 2 узлов, то есть он будет полукликой. Просто заявите, что проблему с вершинным покрытием трудно решить, и это так.