Все ли проблемы целочисленного линейного программирования NP-Hard?

Как я понимаю, задача присваивания находится в P, поскольку венгерский алгоритм может решить ее за полиномиальное время - O (n ³ ). Я также понимаю, что задача присваивания - это целочисленная задача линейного программирования , но на странице Википедии говорится, что это NP-Hard. Для меня это означает, что проблема с назначением находится в NP-Hard.

Но, конечно, проблема назначения не может быть как в P, так и в NP-Hard, иначе P будет равно NP? Означает ли страница Wikipedia, что общий алгоритм решения всех проблем ILP - это NP-Hard? Несколько других источников утверждают, что ILP является NP-Hard, так что это действительно сбивает с толку мое понимание классов сложности в целом.

Если проблема NP-Hard, это означает, что существует класс экземпляров этой проблемы, NP-Hard. Вполне возможно, что другие конкретные классы экземпляров могут быть разрешимы за полиномиальное время.

Рассмотрим, например, проблему нахождения 3-окраски графа . Это хорошо известная проблема NP-Hard. Теперь представьте, что его экземпляры ограничены графами, например деревьями. Ясно, что вы можете легко найти 3-цветную окраску дерева за полиномиальное время (действительно, вы также можете найти 2-цветную окраску).

Рассмотрим решение проблемы на секунду. Метод доказательства твердости решаемой задачи заключается в разработке полиномиальной (карповой) редукции из другой задачи Q , известной как NP-Hard. В этом сокращении вы показываете, что существует функция f, которая отображает каждый экземпляр q проблемы Q на экземпляр проблемы P так , что: q является экземпляром yes для$P$$Q$$f$$q$$Q$$P$$q$ представляет собой экземпляр да по P . Это подразумевает, что решение f ( q ) должно быть «как минимум так же сложно», как решение$Q \iff f(q)$$P$$f(q)$$q$ само .

Обратите внимание , как это не требуется для образа равного множества экземпляров P . Поэтому это вполне возможно для проблемы $f$$P$$P$ ограниченная некоторым подмножеством примеров, не будет сложной.

Чтобы вернуться к исходному вопросу:

• Задача о назначении может быть решена за полиномиальное время, т. Е. Решение каждого случая задачи о назначении может быть вычислено за полиномиальное время.
• ILP - это NP-Hard: в общем, может быть трудно вычислить решение проблемы ILP, то есть существуют сложные примеры ILP.
• Некоторые конкретные случаи ILP могут быть решены за полиномиальное время.

Нет, особые случаи могут быть проще.

Рассмотрим этот IP, например, при заданном $a_i \geq 0$ для $i \in [1..n]$ :

$\qquad\displaystyle \min \sum_{i=1}^n x_ia_i$

улица $\quad\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \geq 1$
иxi∈Nдляi∈[1 ..n]$\ \displaystyle x_i \in \mathbb{N}$$i \in [1..n]$ .

Это находит минимум среди $a_1, \dots, a_n$ (т , для которого, неизбежно, $x_i=1$ в оптимальном решении). Нахождение минимума из $n$ чисел является явно полиномиальной проблемой.

Вы можете смоделировать полиномиально разрешимую проблему как IP. Это не значит, что проблема NP-трудна. Это просто означает, что не существует известного полиномиального алгоритма для решения IP-модели вашей задачи (если только P = NP).

Итак, как вы и предполагали, проблема назначения находится в P, но ваша IP-модель является NP-сложной.

Нет, существует специальный вид целочисленной программы, если матрица ограничений TUM (полностью унимодулярная матрица), то она может быть преобразована в линейную программу, которая может быть решена за полиномиальное время.

Проблема назначения - это не ILP, а проблема LP и, следовательно, не NP-hard.