Сложность вычислительных матриц

Я заинтересован в вычислении $n$ «ю мощность матрицы . Предположим, у нас есть алгоритм умножения матриц, который выполняется за время . Тогда можно легко вычислить за время. Можно ли решить эту проблему за меньшее время? $n\times n$ $A$ $\mathcal{O}(M(n))$ $A^n$ $\mathcal{O}(M(n)\log(n))$

Матричные записи, как правило, могут быть из полукольца, но вы можете принять дополнительную структуру, если это поможет.

Примечание: я понимаю, что в общем случае вычисление за даст алгоритм для возведения в степень. Но ряд интересных проблем сводится к частному случаю возведения в степень матрицы, где m = , и я не смог доказать то же самое об этой более простой задаче. $A^m$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log m)$ $\mathcal O(n)$

— Shitikanth
источник

Какие записи матрицы? Целые?

— Каве

Как правило, записи могут быть из полукольца, но вы можете принять дополнительную структуру, если это поможет.

— Шитикант,

Я не мог получить сокращение от умножения до возведения в квадрат от предложенного выше метода (то есть, используя

). Однако использование

работает. Однако это дает только

при вычислении

(A \pm B)^{2}

$(A\pm B)^2$

{(\begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array})}^{2}

$\left( \begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array} \right)^2$

Ω (M (n))

$\Omega(M(n))$

A^{n}

$A^n$

— Шитикант

Ответы:

Если матрица диагонализируемы затем принимает - й мощности может быть сделано в время , где время , чтобы диагонализовать . $n$

O (D (n) + n \log n)

$O(D(n)+ n\log n)$

D (n)

$D(n)$

A

$A$

Просто, чтобы завершить детали, если с диагональю , то $A=P^{-1}DP$ $D$

A^{n} = (P^{- 1} D P)^{n} = P^{- 1} D^{n} P

$A^n = (P^{-1}DP)^n = P^{-1}D^nP$

и можно вычислить, просто взяв каждый элемент диагонали (каждое собственное значение ) в ую степень. $D^n$ $A$ $n$

— Ран Г.
источник

Даже если матрица диагонализуема, лучшие известные алгоритмы собственного разложения занимают

времени. Используя алгоритм Копперсмита-Винограда, у нас уже есть алгоритм

для вычисления

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

— Шитикант

(1) Время, которое вы цитируете, не принадлежит Копперсмит-Винограду (как вы, вероятно, знаете). (2) Все алгоритмы этой формы работают только для колец; они не работают для общих полуколец (как вы позволяете в своем вопросе).

— Райан Уильямс

$n\times n$ $A$ $A=U\Sigma U^T$ $\Sigma$ $O(n^3)$ $A^m = U \Sigma^m U^T$ $O(n\log m)$ $U \times \Sigma^m \times U^T$ $O(n^{2.3727})$ $O(n^3 + n \log m)$

Обновление после комментария Дело в том, что как только SVD найден, любой мощности требуется только для вычисления по вашему собственному алгоритму CW. Но это не ваш вопрос. Если бы на самом деле существовал алгоритм , он немедленно конвертировался бы в алгоритм для целых чисел. Я подозреваю, что одного такого не существует. $O(n^{2.3727}+n \log m)$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log n)$

— PKG
источник

Поскольку алгоритм Копперсмита – Винограда находит произведение двух матриц за время

, у нас уже есть алгоритм

для вычисления

. Мне интересно знать, можно ли это улучшить, не требуя лучшего алгоритма умножения матриц, особенно для

O (n^{2.3727})

$O(n^{2.3727})$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

m = O (n)

$m=O(n)$

— Шитикант,

A = U Σ U^{⊤}

$A = U \Sigma U^\top$

V \neq U^{⊤}

$V \ne U^\top$

n

$n$

m

$m$

n = 1

$n=1$

O (M (1) \log m

$O(M(1)\log m$

A^{m}

$A^m$

\log m

$\log m$

Это было неясно из вашего вопроса, как указано.

— PKG