Преобразование произвольного покрытия в покрытие вершин

Дан плоский план $G=(V,E)$ и пусть $\mathcal{G}$ обозначает его вложение в плоскость st, каждое ребро которого имеет длину . Кроме того, у меня есть множество точек в которых каждая точка содержится в . Кроме того, для любой точки в верно, что существует с геодезическим расстоянием до не более единицы. (Расстояние измеряется как кратчайшее расстояние в .)$1$$C$$c \in C$$\mathcal{G}$$p$$\mathcal{G}$$c \in C$$p$$\mathcal{G}$

Я хочу утверждать, что, учитывая для которого выполняется указанное выше условие, я могу легко преобразовать его в покрытие вершины или, другими словами, преобразовать его в той же мощностью, что любой помещен в в вершине и по- прежнему охватывает .$C$$C'$$c \in C'$$\mathcal{G}$$G$$C'$$G$

Мой подход состоял в том, чтобы ориентировать края и перемещать точки в в конечной вершине дуги. Но до сих пор я не нашел правильную ориентацию , которое дает C ' от C .$C$$C'$$C$

У кого-нибудь есть идея?

Если нет точек в не лежат точно на средней точке ребра в G , то достаточно , чтобы связать каждую точку в C до ближайшей вершины в G . Я оставлю это в качестве упражнения для читателя, чтобы доказать это (подсказка: доказать противоречие).$C$$\mathcal{G}$$C$$\mathcal{G}$

С другой стороны, если точкам в разрешено лежать на средней точке ребер, мы можем предоставить контрпример:$C$

Синие линии и круги и красные кресты C .$\mathcal{G}$$C$

ИЗМЕНЕНО ДЛЯ ДОБАВЛЕНИЯ: пример с двусвязным графом