Можно ли показать NP-твердость по Тьюрингу?

В статье Рамирес-Альфонсон « Сложность проблемы Фробениуса» доказана, что задача NP-полна с использованием редукций Тьюринга. Это возможно? Как именно? Я думал, что это было возможно только за полиномиальное время много одного сокращения. Есть ли какие-либо ссылки по этому поводу?

Существуют ли два разных понятия NP-твердости, даже NP-полноты? Но тогда я запутался, потому что с практической точки зрения, если я хочу показать, что моя проблема NP-трудна, что мне использовать?

Они начали описание следующим образом:

Сокращение Тьюринга за полиномиальное время от задачи к другой проблеме - это алгоритм A, который решает с помощью гипотетической подпрограммы A 'для решения , что если бы A' был алгоритмом полиномиального времени для то A был бы полиномиальным временем алгоритм для . Мы говорим, что может быть сокращен по Тьюрингу до .$P_1$$P_2$$P_1$$P_2$$P_2$$P_1$$P_1$$P_2$

Задача называется (Тьюринг) NP-трудной, если существует NP-полная задача решения , так что может быть сокращена по Тьюрингу до .$P_1$P 2 P $P_2$$P_2$$P_1$

И затем они используют такое сокращение Тьюринга из NP-полной задачи, чтобы показать NP-полноту некоторой другой проблемы.

Существует (как минимум) два разных понятия NP-твердости. Обычное понятие, которое использует сокращения Карп, утверждает , что язык является NP-трудной , если каждый язык в НП Карп-сводится к . Если мы изменим сокращение Karp на сокращение Cook, мы получим другое представление. Каждый язык, который является Karp-NP-hard, также Cook-NP-hard, но обратное, вероятно, неверно. Предположим , что NP отличается от CONP, и принять ваш любимый NP-полный язык . Тогда дополнением будет Cook-NP-hard, но не Karp-NP-hard.L L $L$$L$$L$$L$

Причина , по которой является Кук-NP-трудной , заключается в следующем: принимать какие - либо языка М в НП. Так как L является NP-трудной, существует функция полиномиальных по F , такие , что х ∈ М тогда и только тогда F ( х ) ∈ L тогда и только тогда F ( х ) ∉ ¯ л . Снижение кашевара от М до ¯ L принимает е , вычисляет F ( х ) , проверяет , является ли F ( х ) ∈ $\overline{L}$$M$$L$$f$$x \in M$$f(x) \in L$$f(x) \notin \overline{L}$$M$$\overline{L}$$x$$f(x)$ и выводит обратное.$f(x) \in \overline{L}$

Причина , по которой не является NP-трудной (предполагая , что НП отличается от CONP) состоит в следующем. Пусть ¯ L были NP-трудной. Тогда для каждого языка М в CONP, происходит уменьшение полиномиальных по е такое , что х ∈ ¯ М тогда и только тогда F ( х ) ∈ ¯ L , или, другими словами, х ∈ М тогда и только тогда F ( х ) ∈ L . Поскольку L находится в NP, это показывает, что M находится в NP, и поэтому coNP $\overline{L}$$\overline{L}$$M$$f$$x \in \overline{M}$$f(x) \in \overline{L}$$x \in M$$f(x) \in L$$L$$M$$\subseteq$NP. Это сразу подразумевает, что NP coNP, и поэтому NP = coNP.$\subseteq$

Если некоторые Куки-NP-трудный язык в P, то P = NP: для любого языка М в НП, используйте сокращение Кука L дать алгоритм полиномиального по для М . Таким образом, в этом смысле языки с полным Cook-NP также являются «самыми сложными в NP». С другой стороны, легко видеть , что Кук-NP-трудный = Кук-CONP твердолобые: сокращение Варить L может быть преобразовано к сокращению Кука для ¯ L . Поэтому мы теряем некоторую точность, используя сокращения Кука.$L$$M$$L$$M$$L$$\overline{L}$

Возможно, есть и другие недостатки в использовании сокращений Кука, но я оставлю это другим ответчикам.

Все в порядке. Уменьшение Тьюринга за полиномиальное время является уменьшением Кука (как в теореме Кука-Левина), а приведение задачи NP-полного к новой задаче дает NP-твердость (как и уменьшение многочлена за полиномиальное время, сокращение AKA Карпа). Действительно, сокращения Карпа просто ограничены сокращениями Тьюринга в любом случае.

В чем они отличаются (в отношении этого вопроса) - в членстве. Сведение Карпа от проблемы к проблеме в NP показывает, что первое находится в NP. Сокращение Кука в том же направлении не делает.