Может ли любая NP-полная проблема быть решена с использованием не более чем полиномиального пространства (но при использовании экспоненциального времени?)

Я читал о NPC и его связи с PSPACE, и я хотел бы знать, могут ли проблемы NPC быть детерминированно решены с использованием алгоритма с наименьшим требованием к полиномиальному пространству, но потенциально с экспоненциальным временем (2 ^ P (n), где P - полиномиальный).

Более того, может ли оно быть обобщено до ОПЫТА в целом?

Причина, по которой я спрашиваю об этом, заключается в том, что я написал несколько программ для решения вырожденных случаев проблем с NPC, и они могут потреблять очень большие объемы оперативной памяти для сложных случаев, и мне интересно, есть ли лучший способ. Для справки см. Https://fc-solve.shlomifish.org/faq.html .

— Рыба шломи
источник

Вообще говоря, для любого алгоритма верно следующее:

Предположим, что - это алгоритм, который выполняется за время . Тогда не может занимать больше, чем места, так как для записи битов требуется время . $A$ $f(n)$ $A$ $f(n)$ $f(n)$ $f(n)$
Предположим, что - это алгоритм, требующий пространства . Тогда за времени может посетить каждое из его различных состояний, поэтому ничего не может получить, выполнив более времени. $A$ $f(n)$ $2^{f(n)}$ $A$ $2^{f(n)}$

Это следует из того:

$\mathbf{NP}$ $\subseteq \mathbf{PSPACE}$

Утверждение известно как часть отношений между классами, как показано на следующей диаграмме:

Объяснение простое: проблема имеет сертификат полиномиальной длины . Алгоритм, который проверяет все возможные сертификаты, является алгоритмом, который решает во времени . $Q$ $\in$ $\mathbf{NP}$ $y$ $Q$ $\large 2^{n^{O(1)}}$

Требуемое пространство:

$y$ (многочлен от ) $n$
пространство, необходимое для проверки . Поскольку является полиномиальным сертификатом, его можно проверить за полиномиальное время, следовательно, он не может требовать больше, чем полиномиальное пространство. $y$ $y$

Поскольку сумма двух полиномов также является полиномом, можно определить с помощью полиномиального пространства. $Q$

Пример:

Предположим, что является экземпляром 3-CNF для литералов с предложениями. Назначение - это некоторая функция . $\varphi$ $x_1 \dots x_n$ $m$ $f$ $f:\{x_1\dots x_n\} \rightarrow \{0,1\}$

Он гласит:

Есть разных назначений. $2^n$
Дано задание , требуется время , чтобы вычислить значение , поэтому он не может требовать больше , чем пространства. $f$ $O(m)$ $\varphi$ $O(m)$

Таким образом, алгоритм который проверяет все возможные назначения, будет использовать полиномиальное пространство, работать в экспоненциальном времени и принимать решение 3-SAT. $A$

Это следует из того:

3-SAT , а так как 3-SAT является NP-Complete, $\in \mathbf{PSPACE}$ $\mathbf{NP}$ $\subseteq \mathbf{PSPACE}$

— жидкий кислород
источник

Почему EXPSPACE и EXPTIME связаны между собой? Я думал, что время и пространство были разными ресурсами. Один из примеров, который приходит на ум, - это взломать криптографическую схему, которая потребовала бы EXPTIME, но с постоянным пространством

— WeCanBeFriends

f (n)

$f(n)$

f (n)

$f(n)$

2^{f (n)}

$2^{f(n)}$

\subseteq

$\subseteq$

F (n) отличается от O (n) в вашем примере?

— WeCanBeFriends

@WeCanBeFriends Нельзя использовать экспоненциальное время с постоянным пространством: вам нужно по крайней мере пространство, используемое для подсчета до этого экспоненциального числа (например, счетчик программы на языке ассемблера), которое является полиномиальным (логарифмическое в экспоненциальном)

— гигабайты

P \neq E X P T I M E

$P\not = EXPTIME$

Да. Вот набросок прямого доказательства.

$\mathrm{NP}$ $M$ $p$ $M$ $n$ $p(n)$ $p(n)$

$c$ $M$ $M$ $c$ $c^{p(n)}$ $n$ $c^{p(n)}$ $p(n)$ $c$ $p(n)$ $M$ $i$ $i$ $i$ $6$

$0\dots 0$ $M$ $c-1$ $c^{p(n)}p(n)$ $2p(n)$

— Дэвид Ричерби
источник