Учитывая хордовый граф , какова сложность вычисления приведенного графа клики ?

Граф является хордальным, если он не имеет индуцированных циклов длиной и более. Клика дерево из является деревом , в котором вершина дерева являются максимальными кликами . Ребро в соответствует минимальному разделителю. Число различных деревьев клик может быть экспоненциальным по количеству вершин в хордальном графе.$G$$4$$T$$G$$G$$T$

Уменьшена клика граф , является объединением всех клики дерев . То есть у него есть все те же вершины и все возможные ребра. Какова сложность вычисления для данного ?$C_r(G)$$G$$C_r(G)$$G$

Я думаю, что однажды увидел презентацию, в которой утверждается, что может быть вычислено за раз без доказательств. Это означало бы , что это так легко , как вычисление клики дерева . Есть ли ссылка, которая подтверждает это, или дает более медленный алгоритм для его вычисления?$C_r(G)$$O(m+n)$$G$

Сложность O (нм) ... из G вычислить максимальные клики и сделать их вершинами в вашем графе H (изначально без ребер) ... затем вычислить все минимальные разделители и упорядочить их по размеру ... выбрать самый большой разделитель S и сделать любые два клика C, C 'смежными в H (соединить их ребром с меткой S), если C, C' оба содержат S и находятся в разных связанных компонентах H (изначально это, конечно, всегда верно, но может не позже) ... затем выберите следующий по величине разделитель и делайте то же самое ... повторяйте, пока все разделители не будут обработаны ... результирующий граф H - это граф приведенных кликов G ... вычисление максимальных кликов и минимальных сепараторов занимает O (n + m) ... есть O (n) клик и O (n) разделители ... остальная часть конструкции - O (нм), так как обработка каждого разделителя может занять O (m) время ... .. ,это не может быть улучшено ниже O (n ^ 2), если вы не можете решить следующую проблему: для графа G найдите две вершины u, v, такие, что N (u) содержит N (v) ... последняя, ​​как известно, не имеет Решение O (n + m) ... ... поэтому маловероятно, что алгоритм O (n + m) для вычисления приведенных графов кликов возможен ...

см. раздел 5 в M. Habib, J. Stacho: Алгоритм полиномиального времени для листков хордовых графов, In: Algorithms - ESA 2009, Конспект лекций в области компьютерных наук 5757/2009, с. 290-300. ( http://www.cs.toronto.edu/~stacho/public/leafage-esa1.pdf )