Сколько кратчайших расстояний изменяется при добавлении ребра на график?

Пусть $G=(V,E)$ некоторый полный взвешенный неориентированный граф. Построим второй граф $G'=(V, E')$ , добавив ребра одно за другим из в . Добавим края для$E$$E'$$\Theta(|V|)$$G'$ всего.

Каждый раз, когда мы добавляем одно ребро $(u,v)$ к $E'$ , мы рассматриваем кратчайшие расстояния между всеми парами в $(V, E')$ и $(V, E' \cup \{ (u,v) \})$ . Мы посчитаем, сколько из этих кратчайших расстояний изменилось в результате сложения $(u,v)$ . Пусть $C_i$ будет числом кратчайших расстояний, которые меняются при добавлении $i$th ребро, и пусть будет количеством ребер, которые мы добавим в итоге.$n$

Насколько большой ?$C = \frac{\sum_i C_i}{n}$

Поскольку , C = O ( n 2 ) . Может ли эта граница быть улучшена? Обратите внимание, что я определяю C как среднее по всем ребрам, которые были добавлены, поэтому один раунд, в котором изменяется большое количество расстояний, не столь интересен, хотя он доказывает, что C = Ω ( n ) .$C_i = O(|V|^2)=O(n^2)$$C=O(n^2)$$C$$C = \Omega(n)$

У меня есть алгоритм для жадного вычисления геометрического t-гаечного ключа, который работает за , поэтому, если C равно o ( n 2 ) , мой алгоритм работает быстрее, чем исходный жадный алгоритм, и если C действительно мал потенциально быстрее, чем самый известный алгоритм (хотя я сомневаюсь в этом).$O(C n \log n)$$C$$o(n^2)$$C$

Некоторые специфические для задачи свойства, которые могут помочь с хорошей границей: добавляемое ребро всегда имеет больший вес, чем любое ребро, уже существующее в графе (не обязательно строго больше). Кроме того, его вес меньше, чем кратчайший путь между u и v .$(u,v)$$u$$v$

Можно предположить, что вершины соответствуют точкам в 2d плоскости, а расстояния между вершинами являются евклидовыми расстояниями между этими точками. То есть каждая вершина соответствует некоторой точке ( x , y ) на плоскости, а для ребра ( u , v ) = ( ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ) ее вес равен к $v$$(x,y)$$(u,v)=((x_1,y_1),(x_2,y_2))$$\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2.}$

Рассмотрим следующую линейную цепочку с узлами, n ребрами и порочно выбранными весами:$n+1$$n$

^{[ источник ]}

Ясно, что ребра могли быть добавлены в порядке их весов, и их . Добавление пунктирного ребра (что допустимо) создает более короткие пути для всех пар ( u i , b j ) с i , j = 1 , … , k . Как k ≈ $n \in \mathcal{O}(|V|)$$(u_i,b_j)$$i,j = 1,\dots,k$ и предполагая, чтоn∈Θ(|V|), первая и последняя строки содержатΘ(|V|) помногим узлам, и сложение вызываетΘ(|V|2)многих изменений кратчайшего пути.$k \approx \frac{n}{4}$$n \in \Theta(|V|)$$\Theta(|V|)$$\Theta(|V|^2)$

Теперь мы можем двигаться «наружу», то есть добавить следующее ребро с весом между u k - 1 и b k - 1 и т. Д .; если мы продолжим это до ( u 1 , b 1 ) , мы вызовем всего Θ ( | V | 3 ) изменений кратчайшего пути.$n+2$$u_{k-1}$$b_{k-1}$$(u_1,b_1)$$\Theta(|V|^3)$

Если это не убедит вас, обратите внимание, что вы можете начать этот «процесс» с и работать оттуда; Таким образом , вы добавить ≈ п ребер , которые вызывают в общей сложности ≈ Х п я = 1 я 2 ∈ thetas ; ( п 3 ) = & thetas ( | V | 3 ) много кратчайших изменений пути --- это просто невозможно сделать , чтобы поместиться на одном экран.$(c_1,c_2)$$\approx n$$\approx \sum_{i=1}^{n}i^2 \in \Theta(n^3) = \Theta(|V|^3)$