Построить две функции и удовлетворяющие

Построим две функции удовлетворяющие:$f,g: R^+ → R^+$

1. $f, g$ непрерывны;
2. $f, g$ монотонно возрастают;
3. $f \ne O(g)$ и .$g \ne O(f)$

Есть много примеров для таких функций. Возможно, самый простой способ понять, как получить такой пример, - это создать его вручную.

Давайте начнем с функции над натуральными числами, так как они могут непрерывно пополняться действительными числами.

Хороший способ убедиться, что и g ≠ O ( f ), состоит в чередовании их порядков. Например, мы могли бы определить$f\neq O(g)$$g\neq O(f)$

$f(n)=\begin{cases} n & n \text{ is odd}\\ n^2 & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

Тогда мы могли бы ведут себя противоположным по коэффициентам и эвенов. Тем не менее, это не работает для вас, потому что эти функции не монотонно растут.$g$

Однако выбор был несколько произвольным, и мы могли бы просто увеличить величины, чтобы иметь монотонность. Таким образом, мы можем придумать:$n,n^2$

, а g ( n ) = { n 2 n - 1 n  является нечетным n 2 n n $f(n)=\begin{cases} n^{2n} & n \text{ is odd}\\ n^{2n-1} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$$g(n)=\begin{cases} n^{2n-1} & n \text{ is odd}\\ n^{2n} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

Понятно, что это монотонные функции. Кроме того, , поскольку на нечетных целых числах f ведет себя как n 2 n, в то время как g ведет себя как n 2 n - 1 = n 2 n / n = o ( n 2 n ) , и наоборот по вечерам.$f(n)\neq O(g(n))$$f$$n^{2n}$$g$$n^{2n-1}=n^{2n}/n=o(n^{2n})$

Теперь все, что вам нужно, это завершить их до действительного числа (например, путем добавления линейных частей между целыми числами, но это действительно не относится к делу).

Кроме того, теперь, когда у вас есть эта идея, вы можете использовать тригонометрические функции для построения «закрытых формул» для таких функций, поскольку и cos колеблются и достигают максимума в чередующихся точках.$\sin$$\cos$

Хорошая иллюстрация для меня: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%29%2B2x%2C+cos%28x%29%2B2x

g ( n ) = 2 x + c o s ( x ) f ≠ O ( g ) g ≠ O ( f