Что такое эффективный алгоритм?

С точки зрения асимптотического поведения, что считается «эффективным» алгоритмом? Каков стандарт / причина для рисования линии в этой точке? Лично я бы подумал, что все, что я могу наивно назвать «подполиномом», такое, что такое как , будет эффективным, а все, что будет "неэффективным". Однако я слышал, что все, что имеет любой полиномиальный порядок, можно назвать эффективным. В чем причина?$f(n) = o(n^2)$ Ω ( n 2$n^{1+\epsilon}$$\Omega(n^2)$

Это зависит от контекста. В теоретической информатике обычно каждый алгоритм за полиномиальное время считается «эффективным». В алгоритмах аппроксимации, например, время выполнения будет считаться эффективным, даже если на практике его нельзя будет использовать при любом разумном значении . Алгоритм для SAT, который выполняется в был бы удивительным прорывом. ϵ n 2 $n^{1/\epsilon^{1/\epsilon}}$$\epsilon$$n^{2^{100}}$

В классической алгоритмике, т. Е. Алгоритмах 80-х и ранее, время выполнения ниже или около того (умножение матрицы, согласование минимальных затрат, потоки, линейное программирование) считается эффективным. Я бы сказал, что они все еще считаются эффективными. Конечно, алгоритм не считается эффективным, если известен алгоритм , как, например, для сортировки.n 2 n log $n^3$$n^2$$n\log n$

В настоящее время существует тенденция к сублинейным алгоритмам или потоковым алгоритмам, способным обрабатывать терабайты данных. Попробуйте использовать матричное умножение, чтобы вычислить рейтинг страниц всех страниц в индексе Google. Это не сработает.

Конечно, хотя это и полезно, асимптотическое время выполнения алгоритма не рассказывает всей истории. Существуют алгоритмы с хорошей асимптотической средой выполнения, но такие огромные константы, что их эффективно использовать нельзя. Когда-либо. Липтон называет их Галактическими Алгоритмами . Роберт Седжвик даже заявляет, что наихудшие границы «часто бесполезны для предсказания, часто бесполезны для гарантий» и «анализ наихудшего случая бесполезен для предсказания производительности» в своем выступлении «Возвращение науки в информатику» .

$O(\log^c n)$$c>0$ $O(\log n)$

Причиной этого является то, что с точки зрения асимптотического поведения полиномиальная скорость роста тривиально меньше, чем суперполиномиальная скорость роста. На практике алгоритм полиномиального времени работает намного быстрее, чем алгоритм суперполиномиального времени, когда размер входных данных увеличивается.

$O(n^{2000})$$O(n^5)$

$O(n^2)$

Теоретически алгоритм считается эффективным, если время его наихудшего случая ограничено полиномом по входной длине. Причина в том, что полиномы имеют хорошие свойства замыкания. Добавление, умножение, составление полиномов - это операции, которые дают полиномы, и они хороши, если вы сводите проблемы друг к другу.

Конечно, разрыв между полиномом и экспонентой становится очень очень большим, так как длина входного сигнала увеличивается, поэтому алгоритмы за полиномиальное время намного лучше. На практике алгоритм полиномиального времени может занять много времени до завершения, но это может быть случай, когда это оптимальный алгоритм (наилучший из возможных), и в этом случае я бы сказал, что он эффективен.

$n^3$$n^2$